第08讲 三角形中的对角互补模型-【多题一解&一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（全国通用）

第08讲 三角形中的对角互补模型 【应对方法与策略】 一、双等边类型 △BCD≌△ACE △ABD≌△ACE △BOE∽△COF 二、双等腰直角类型 △BCD≌△ACE △BCE≌△DCF △ABD∽△ACE 【多题一解】 一．选择题（共1小题） 1．（2021秋•邗江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 二．填空题（共1小题） 2．（2022春•高新区校级月考）如图，将5个边长为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则5个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 　 　． 三．解答题（共17小题） 3．（2020•九龙坡区校级模拟）【初步探索】 （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程． 4．（2022秋•邹城市校级期末）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　． 5．（2021秋•九台区期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容． 已知：如图13.5.4，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E． 求证：PD＝PE． 分析： 图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等便可证得PD＝PE． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明PD＝PE的过程． 【类比探究】 （1）如图②，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，点M，N分别在OB和OA上，连接PM和PN，若∠PMO+∠PNO＝180°，求证：PM＝PN； （2）如图③，△ABC的周长是12，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的面积为 　 　． 6．（2021秋•东莞市期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是　 　；（不需要证明） （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 7．（2022秋•西城区校级期中）（1）问题背景． 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　． （2）猜想论证． 如图2，在四边形ABCD