精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题

哈三中2022-2023学年度上学期高二学年期末考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（共60分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 椭圆的焦距为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 2. 已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 3. 设m为实数，若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，且与互相平行，则（ ） A. B. C. D. 6. 为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为（ ） A. 2m B. 3m C. 2.5m D. 1.5m 7. 已知双曲线的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且，的周长为20，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为A，直线与椭圆E的另一个交点为B，若，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. （二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆M内 B. 圆M关于对称 C. 半径为1 D. 直线与圆M相切 10. 已知椭圆E：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于A，B的一个动点．下列结论中，正确的有（ ） A. 椭圆的长轴长为8 B. 满足面积为4的点恰有2个 C. 的的最大值为16 D. 直线与直线斜率乘积为定值 11. 过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，已知C的焦点为F，且，则（ ） A. C的准线方程是 B. C 直线过定点 D. 当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为 12. 若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互素，欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数k，且与k互素的正整数的个数，例如：，，，．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互素，那么，则（ ） A. B. C. 数列不是递增数列 D. 数列的最大项为第4列 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13. 等差数列中，，则______． 14. 如图，在长方体中，，，则与平面所成的角的正弦值为______． 15. 已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是______． 16. 对非原点O的点M，若点在射线上，且，则称为M的“r-圆称点”，图形G上的所有点的“r-圆称点”组成的图形称为G的“r-圆称形”．的“3-圆称点”为______，圆（不包含原点）的“3-圆称形”的方程为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，，过点且与直线垂直的直线为，圆：． （1）求的方程； （2）求与圆相交的弦长． 18. 已知为等差数列的前项和，，． （1）求； （2）是否存在最大值？若存在，求出的最大值及取得最大值时的值；若不存在，说明理由． 19. 已知抛物线过点，焦点为F，O为坐标原点． （1）求抛物线C方程，并写出F的坐标； （2）若直线MF与抛物线的另一个交点为N，求的面积． 20. 椭圆E的方程为，短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆E方程； （2）若直线l：与圆相切，且与椭圆E交于M，N两点，且，求直线l的方程． 21. 已知在四棱锥中，平面，，，． （1）求证：平面平面； （2）若是棱上的点，若二面角的余弦值为，求线段的长． 22. 已知双曲线的离心率，，分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点． （1）求双曲线方程； （2）过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于，两点，在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1