2023年中考数学专题一：二次函数中直角三角形的 存在性问题讲义

专题一：直角三角形的存在性问题探究 【中考考情分析】 在历年的各地区中考中，二次函数的存在性问题是考查几率最大的，在历年试题中经常考察直角三角形、等腰三角形、等要直角三角形、平形四边形、特殊平行四边形、相似三角形、特殊角的存在问题，二倍角的存在问题等。问题的综合性一般都比较强，多需要分类讨论，做题难度较大。 【方法点睛】 构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆. 【考题研究】 这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。 【解题攻略】 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走： 第一步寻找分类标准， 第二步列方程， 第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到． 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）． 【解题类型及其思路】 当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究： （1） 当动点在直线上运动时，常用的方法是① ，②三角形相似，③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法① ，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角。 典例剖析 类型一：动点在直线上运动时 例1：（2022广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． 【巩固练习1】如图，直线与抛物线相交于，和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求为直角三角形时点的坐标． 【巩固练习2】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点． （1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； （3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【巩固练习3】（2021•巴中T25）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式； （2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二：动点在抛物线上运动时 例2：（2022枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的关系式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标； （3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围； （4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【巩固练习1】（2022滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． （1）求线段AC的长； （2）若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标； （3）若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标． 【巩固练习2】 （2022海南中考）如图1，抛物线经过点，并交x轴于另