2023年高考新情境-“曲率”考法探究与预测

2023年高考新情境“曲率”的考法探究与预测 【曲率简述】 我们通常用曲率来衡量曲线弯曲的程度，它表明曲线偏离直线的程度 根据微积分推导，对于可导函数，在点处的曲率： ， （其中是的导函数） 曲率的倒数就是曲率半径，即，曲率半径等于最接近该点处曲线的圆弧的半径 特殊的如：圆上各个地方的弯曲程度都是一样的，故曲率半径就是该圆的半径； 直线不弯曲，和直线在该点相切的圆的半径可以任意大，所以曲率是，故直线没有曲率半径 【考法一】在曲线某点处的“曲率”“曲率半径”新情境下，考察导数推理运算及求范围求最值 例1. (2022·广东省东莞市·期末考试)曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记是的导函数，是的导函数，那么曲线在点处的曲率则曲线在点处的曲率为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【知识点】导数的运算 【解析】的导数为，， 所以．  【点评】 本题考查了求导法则，属于基础题． 对函数求导，根据曲率的定义，即可求得答案． 例2. (2023·河南省郑州市·单元测试)曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率若曲线，则曲线的曲率的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、导数的运算、利用导数研究函数的单调性 【解析】由题易知，， 所以，所以． 令，因为，所以． 令， 则，所以在上单调递减， 所以，即，所以   【点评】 本题考查导数的运算以及利用函数的单调性求最值的应用，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题． 利用曲率的定义对函数求导，然后利用换元法结合函数的单调性求最值即可求解． 【对点训练1】 1). (2022·全国·月考试卷)在微分几何中，用曲线的曲率来刻画曲线的弯曲程度，曲线的曲率定义如下：若曲线的直角坐标方程为，且函数具有二阶导数，记曲线在点处的曲率为，则已知函数，则曲线的曲率的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A  【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值 【解析】由题可知，，   ， 设,则，当且仅当时取等号 故的最大值为. 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系，以及放缩法的应用，属于难题． 求出，，由已知可得关于的函数，亦可根据函数的单调性求最值． 2). [多选题] (2022·山东省·月考试卷)曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线在点处的曲率，其中是的导函数(    ) A. 若函数则曲线在点与点处的弯曲程度相同 B. 若是二次函数．则曲线的曲率在顶点处取得最小值 C. 若函数，则函数的值域为 D. 若函数，则曲线上任意一点的曲率的最大值为 【答案】ACD  【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值 【解析】对于，，，则， 又，所以为偶函数，曲线在两点的弯曲长度相同，故A正确； 对于，设，，， 则，当且仅当，即时，曲率取得最大值，故B错误； 对于，，，， 当时，；当时，函数为增函数， 所以的最大值为，故C正确； 对于，，， 当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：． 【点评】 根据求导法则和运算性质分别求出选项的、，求出曲率的表达式，结合偶函数的定义、复合函数的单调性、基本不等式的应用依次判断即可． 本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 【考法二】在曲线两点之间的“曲率”新情境下，考察导数推理运算及求最值求范围 例3. [多选] (2022·福建省·月考试卷)函数图像上不同两点，处的切线的斜率分别是，，为，两点间距离，定义为曲线在点与点之间的“曲率”，给出以下命题，其中正确的是(    ) A. 存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数 B. 函数图像上两点与的横坐标分别为，，则“曲率” C. 函数图像上任意两点、之间的“曲率” D. 设，是曲线上不同两点，且，若恒成立，则实数的取值范围是 【答案】AC  【知识点】两点间的距离公式、求曲线上一点的切线方程（斜率、倾斜角）、导数的新定义问题、利用导数研究恒成立与存在性问题 【解析】 对于，如时“曲率”恒为零，故A正确； 对于 ，由，得，将，代入得 ，，则 ，， ，，则， ，故 B错误； 对于，，，， ，故 C正确； 对于，由，得， ． 又，故恒成立， 则实数的取值范围是，故D错误． 综上正确的为． 故选AC．  【点评】 本题考查新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线斜率，考查了函数恒成立问题，关键是对题意的理解． 由新定义，举例直线型函数“曲率”为零，说明A正确；利用导数逐一求出函数，在点与点之间的“曲