2023年中考数学-用几何画板探究斜边中线模型

用几何画板探究斜边中线模型 直角三角形如下的性质: （1）直角三角形的两个锐角互余. （2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）. （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. （4）直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半. 现在,我们借助于几何画板软件,来探究“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”. 模型制作 1.打开几何画板软件,单击“线段直尺工具”并长按约1秒,从弹出的工具中选择“线段”工具,在绘图区单击两次作出线段AB,单击“点工具”,在绘图区作出一点C,依次选中点A、点C,依次单击“构造”、“射线”,作出射线AC. 2.选中点B和射线AC,依次单击“构造”、“垂线”,作出射线AC的垂线.如图1所示. 3.选中点C并隐藏,选中射线和垂线,依次单击“构造”、“交点”,单击“文字工具”,双击交点,在弹出的对话框中,将交点标签修改为C.如图2所示. 4.选中射线AC和直线BC,依次单击“显示”、“隐藏直线型对象”,依次选中点A、B、C,依次单击“构造”、“线段”,作出直角三角形ABC.如图3所示. 5.单击“标记工具”,将其移到AC边上,按住左键拖动至BC边上松开,作出直角标记.在直角标记处单击右键,在弹出的菜单中选择“属性”,在对话框中选择“标记笔”,去掉“显示角度方向”前的“√”,选择“不透明度”,拖动滑块至最左端或将“不透明度”设置为0.如图4、图5所示. 6.选中斜边AB,依次单击“构造”、“中点”,作出斜边AB的中点,标记为D,选中点C、D,依次单击“构造”、“线段”,作出斜边上的直线CD.如图6所示. 7.选择中线CD和斜边AB,依次单击“度量”、“长度”,量出CD和AB的长度.依次单击“数据”、“计算”、“CD的长度”、“”、“AB的长度”,得出中线与斜边的长度之比为0.5.如图7所示. 8.依次选中“CD的长度”、“AB的长度”和“CD与AB的长度之比”,依次单击“数据”、“制表”,列出一个表格,隐藏“CD的长度”、“AB的长度”和“CD与AB的长度之比”.如图8所示.经此一步,完成作图. 模型探索 拖动点B,可以发现斜边AB的长度和斜边上的中线CD的长度发生变换,但中线与斜边的长度之比却保持0. 5不变,这也就直观的说明了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一事实.如图9所示. 进一步探究,我们不难得到如下结论: （1）直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形; （2）分成的两个等腰三角形的腰长相等,两个顶角互补,底角互余. 解直角三角形,我们通常构造出斜边上的中线,利用直角三角形的性质解决问题. 模型应用 例1. 如图10所示,在△ABC中,点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,AH是BC边上的高. （1）求证:四边形ADEF是平行四边形; （2）求证:. 证明:（1）∵D、E分别是AB、BC 的中点 ∴ ∴ ∵点F是AC的中点 ∴ ∴ ∵, ∴四边形ADEF是平行四边形; （2）∵AH是BC边上的高 ∴△ABH和△ACH都是直角三角形 在Rt△ABH和Rt△ACH中 ∵点D、F分别是AB、AC的中点 ∴ ∴ ∴ ∴ 由（1）可知:四边形ADEF是平行四边形 ∴ ∴. 例2. 如图11,等边△ABC的边长为2,两个顶点A、B分别在轴和轴上运动,则顶点C到原点O的距离的最大值和最小值的乘积为_________. 解:取AB边的中点D,连结OC、OD、CD.如图13所示. 易求出:,. 当O、C、D三点不共线时,有: ∴ 当O、C、D三点不共线时,如图14所示,有:;如图15所示,有:.∴≤OC≤ ∴顶点C到原点O的距离的最大值为,最小值为,最大值和最小值的乘积为. 动态分析与演示 现在,我们利用几何画板软件对该问题进行动态分析与演示. 1.打开几何画板软件,单击“点工具”,在绘图取作出一个点A，选中点A,依次单击“变换”、“平移”,在弹出的对话框中选择“直角标记”,将水平方向固定距离设置为2 cm,垂直方向固定距离设置为0 cm,单击“平移”,得到平移后的点.如图16所示. 2.选中点A、,依次单击“构造”、“线段”,作出线段. 3.单击“绘图”,选择“定义坐标系”,再单击“绘图”,选择“隐藏网格”,选中“单位点”并隐藏. 4.在轴正半轴上任取一点,选中该点和线段,依次单击“构造”、“以圆心和半径绘圆”,画出的圆要与轴有交点.如图17所示. 5.选中点A、、线段并隐藏,把轴上任取的点命名为A,⊙A与轴正半轴的交点命名为B,原点命名为O.如图18所示. 6.双击点B,选中点A和线段AB,依次单击“变换”、“旋转”,在弹出的对话框中设置固定角度为,单击“旋转”,作出线段BC.如图19所示. 7.选中点C、点A,依次单击“构造”、“线段”,作