2023年 九年级数学中考复习 三角形综合解答题 专题突破训练

2023年春九年级数学中考复习《三角形综合解答题》专题突破训练（附答案） 1．【观察发现】 如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，连接BD和AE，BD、AE相交于点P，猜想线段BD与AE的数量关系，以及BD与AE相交构成角的度数，请说明理由． 【深入探究】 如图2，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD、BE，Q为AD中点，连接QC．试探究线段CQ与BE的关系，并加以证明． 2．在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动． （1）若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为等边三角形？ （2）若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？ （3）若AB＝AC，点Q与点P同时出发，其中点Q以acm/s（a＞0且a≠2）的速度从C点出发在线段CA上运动，当a为何值时，△BPD和△CQP全等？ 3．（1）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则S△ABC＝　 　； （2）如图1，在△ABC中AB＝AC＝5，BC＝8．点D在边AB上且BD＝1，求点D到AC边的距离． （3）如图2，在△ABC中AB＝AC＝5，BC＝8．点P是BC边上一动点，将△ABC沿着过点P的直线翻折，使点C恰好落在AB边上，求CP的最小值． 4．【教材呈现】：华师版八年上册69页例4． 如图①，在△ABC中，D是BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E，求证：AD＝ED．请结合图①写出完整的证明过程． 【应用】（1）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，射线AE与BC的延长线交于点F，连结BE，若S△ABE＝3，则S四边形ABCD＝　 　． （2）如图③，在△ABC中，D是BC的中点，点G是AD的延长线上一点，BG∥AC，∠BAE＝∠FAC＝90°，AB＝AE，AF＝AC，AD＝2，则EF＝　 　． 5．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝20cm，动点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．设点P的运动时间为t（t＞0）秒． （知识储备：一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半．） （1）当t＝10时，求证：△PAC是直角三角形． （2）如图2，若另一动点Q在线段CA上以每秒2cm的速度由点C向点A运动，且与点P同时出发，点Q到达终点A时点P也随之停止运动．当△PAQ是直角三角形时，直接写出t的值． （3）如图3，若另一动点Q从点C出发，以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，且与点P同时出发．当点P到达终点B时点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E．在运动过程中，线段DE的长度是否发生变化？为什么？ 6．综合与实践 某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）[材料理解]如图1，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰△ABD和等腰△ACE．AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，连接BE，CD，试猜想BE与CD的大小关系，并说明理由； （2）[深入探究]如图2，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠ABC＝45°，分别以AB，AC为边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE，CD，求BE的长； （3）[延伸应用]如图3，在△ABC中，AB＝10，点D为平面内一点，连接AD，BD，满足AD＝6，BD＝BC，∠DBC＝60°，∠DAC＝30°，求AC的长． 7．（1）尝试探究：如图1，△ABC是等边三角形，∠DAB＝90°，AD＝AB，连接CD、BD，求∠CDB的度数． （2）类比延伸：如图2，△ABC是等边三角形，AD＝AB，连接CD、BD，AE平分∠DAC，交BD于E，交CD于F，求∠CDB的度数． （3）拓展迁移：在（2）的条件下，试猜想AF，BE，DE之间有怎样的数量关系？并给出证明． 8．已知：如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，点D是直线BC上一点，连接AD，以AD为边作等边△ADE，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC的中点时，CE＝　 　； （2）如图2，当点D在BC的延长线上时，求证：△ABD≌△ACE． （3）在（2）的条件下探索AC，CD，CE三条线段的长度有何关系？并说明理由． 9．阅读下面材料： 某学校数学兴趣活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠B＝∠BCA＝45°，D是BC的中点， （1）问题发现：如图1，若点E、F