2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题

2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题 1．【背景】如图1-1所示，点在线段上，分别以为一边，在线段的上方，作等边三角形和等边三角形，连接，它们交于点． 容易判断，与的数量关系为____________________，它们所夹锐角的大小为__________度． 【探究】把图1-1中的等边三角形绕点逆时针旋转一定角度，变成图1-2，线段的延长线与交于点．请你判断与的数量关系及的大小，并给出证明过程． 【应用】如图1-3所示，点在线段上，，在的上方作等边三角形（的大小和位置可以改变），连接．请直接写出的最小值，不用表述理由． 2．数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知中，，，，点为平面内不与点、重合的任意一点，将线段绕点顺时针旋转，得线段，、分别是、的中点，设直线与直线相交所成的较小角为，探究的值和的度数与、、的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： (1)填空： 【问题发现】 小明研究了时，如图1，求出了__________，__________； 小红研究了时，如图2，求出了__________，__________； 【类比探究】 他们又共同研究了时，如图3，也求出了； 【归纳总结】 最后他们终于共同探究得出规律：__________（用含、的式子表示）；__________（用含的式子表示）． (2)求出时的值和的度数． 3．在中，，． (1)如图1，点E在上（不与点A，B重合），连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，． ①求证：； ②若，，求的长． (2)如图2，若点E在外，且，将绕点C逆时针旋转，得到，连接交于点G，射线与射线相交于点H．求证：． 4．如图，已知中，，，点D是所在平面内一点，连接，，． (1)如图1，点D在上，，且，求的面积； (2)如图2，点D为内部一动点，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，点G是线段的中点，连接，猜想线段，之间存在的位置关系和数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，点C关于直线的对称点为点，连接，，点D为内部一动点，连接．若，且，当线段最短时，直接写出的面积． 5．在中，，．点D是平面内一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，若点D为线段的中点，且，求的长； (2)如图2，若点D为内部一点，过点A作交的延长线于点F，交于点G，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，点M是射线上的一点，点N是线段上一点，且，连接，．当最小时，直接写出与的面积的和． 6．如图，已知为等腰直角三角形，，，点D、E分别为边、上的一动点（且满足），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接、． (1)如图1，当点D与点A重合时，求证：①；②； (2)如图2，当点D与点A不重合时，结论是否仍然成立？请说明理由： (3)如图3，在（2）的条件下，过点D作，垂足为M．试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 7．在等边三角形中，点D为上一点，连接，将绕D逆时针旋转角度得到，连接，已知，； (1)如图1，若，，连接，求的长； (2)如图2，若，分别取的中点H，的中点F，连接，，求证：； (3)如图3，若，P为上一点，且满足，连接，将沿着所在直线翻折得到，连接，当最大时，直接写出的面积． 8．如图，和都是等腰直角三角形，． (1)猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是_______，位置关系是______________； (2)探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗?说明理由； (3)拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是_______________． 9．如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转． (1)直接写出的度数； (2)若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定角度（如图②），若平分，平分，求的度数； (3)在图①基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点顺时针旋转，转速为秒，（当三角板旋转一周后，两块三角板停止运动），在旋转过程中，当，求旋转的时间是多少． 10．把两个等腰直角三角形和按图所示的位置摆放，将绕点按逆时针方向旋转，如图，连接，，设旋转角为． (1)如图，与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)如图，中与的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)如图，当点在线段上时，求证：； (4)当旋转角______填度数时，的面积最大． 11．如图，在中，，点分别在边上，且，此时成立． (1)将绕点逆时针旋转时，在图中补充图形，并求出的长度； (2)当绕点逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？