2023年数学中考-用几何画板探究中点对称模型

用几何画板探究中点对称模型 模型制作 1.打开几何画板,单击“自定义工具”,从弹出的菜单中选择“三角形”,从弹出的子菜单中单击“任意三角形”,按住“shift”键不放在绘图区单击两次松开,再在上方单击一次,作出△ABC,如图1所示. 2.选择线段AC,依次单击“构造”、“中点”,作出线段AC的中点O. 3.单击“点工具”,在线段AB上任意作出一点D,选中点D、O,依次单击“构造”、“线段”,作出线段DO.选中线段DO,修改颜色为黑色.如图2所示. 4.依次选中点D、O,依次单击“变换”、“标记向量”,选中线段DO和点O,依次单击“变换”、“平移”,如图3所示,从弹出的对话框中单击“平移”.如图4所示.点O平移到点E的位置. 5.构造线段CD、AE,选中线段OE、AE,修改线型为“细线/虚线”，如图5所示. 6.选中点C、O、D,依次单击“构造”、“三角形的内部”,选中△COD的内部,修改颜色为浅蓝色.用同样的方法构造△AOE的内部,颜色为粉红色.如图6所示.选中点D,修改点的颜色为浅蓝色.经此一步,完成作图. 模型探索 在图6中,拖动点D,始终有△COD≌△AOE（SAS）成立.如图7所示,连结CE,由作图可知:, 所以四边形ADCE是平行四边形.在拖 动点D（不与点A重合）的过程中,四 边形ADCE保持平行四边形的形状不 变. 像这样,在三角形中遇有一边的中 点时,我们可以倍长中线或倍长经过中点的线段的方法来构造全等三角形或平行四边形.这种模型就叫做中点对称模型. 模型应用 例1. 如图9（1）,在正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过点E作交BC于点F,连结DF,G为DF的中点,连结EG、CG. （1）求证:; （2）将图（1）中的△BEF绕点B逆时针旋转,如图（2）所示,取DF的中点G,连结EG、CG,问（1）中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由; （3）将图（1）则的△BEF绕点B逆时针旋转任意的角度,如图（3）所示,再连结相应的线段,问（1）中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?（不需要证明） （1）证明:∵ ∴△DEF是直角三角形 在Rt△DEF中,∵G为DF的中点 ∴ 同理可证: ∴; （2）成立. 理由如下:延长EG,交AD的延长线于 点H,连结CE、CH.如右图所示. ∴, ∴ ∵点G为DF的中点 ∴ 在△EFG和△HDG中 ∵ ∴△EFG≌△HDG（AAS） ∴ ∵ ∴ 在△BCE和△DCH中 ∵ ∴△BCE≌△DCH（SAS） ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴; （3）成立. 理由如下: 如右图所示 延长EG至点H,使,连结 DH、CH、CE. 证明:△EFG≌△HDG ∴ 易证: 证明△BCE≌△DCH时,证明是难点. 在四边形BCDM中 ∵ ∴ ∵ ∴. 接下来的证明略. 例2. 如图10,在△ABC中,,E为BC边的中点,AD为的平分线,过E作AD的平行线,交CA的延长线于G. 求证:. 证明:延长FE至点H,使,连结CH,如图11所示. ∵点E是BC的中点 ∴ 在△BEF和△CEH中 ∵ ∴△BEF≌△CEH（SAS） ∴ ∵AD平分 ∴ ∴ ∴ ∴. 例3. 如图12（1）,在正方形ABCD和正方形CGEF（）中,点B、C、G在同一直线上,点M是AE的中点. （1）探究线段MD、MF的位置关系和数量关系,并证明; （2）若将图（1）中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转,使D、C、G三点在一条直线上,如图（2）,其他条件不变,则（1）中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明; （3）将图（1）中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转,使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上,如图（3）,其他条件不变,则（1）中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. 解:（1）. 理由如下:延长DM交EF于点N,如图所示. ∵点M是AE的中点,∴ ∵ ∴ 在△AMD和△EMN中 ∵ ∴△AMD≌△EMN（ASA） ∴ ∵△DFN是直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵,FM平分DN ∴; （2）不变. 理由如下:延长DM,交GE于点N, 连结FD、FN,如图所示. ∵ ∴ ∵点M是AE的中点 ∴ 在△AMD和△EMN中 ∵ ∴△AMD≌△EMN（ASA） ∴ ∵ ∴ 易知: 在△DCF和△NEF中 ∵ ∴△DCF≌△NEF（SAS） ∴, ∵ ∴ 在Rt△DFN中 ∵ ∴ ∵, ∴ ∴（1）中的两个结论不变; （3）不变. 理由如下:延长DM交BE于点N, 连结FD、FN,如图所示. ∵ ∴ ∵点M是AE的中点 ∴ 在△AMD和△EMN中 ∵ ∴△AMD≌△EMN（ASA） ∴ ∵ ∴ 易知: 在△