二次函数与圆综合(2) 2023年九年级数学中考复习讲义

二次函数与圆综合(2) 九年级数学中考复习 例题讲解 【例1】 如图，已知二次函数的解析式为，其图象上有一个动点，连接为 坐标原点），并以为半径作圆，则该圆的最小面积是　　 A． B． C． D． 【例2】 如图，二次函数的图象与轴交于点，且点，都在该抛 物线上，以为圆心，以的长为半径的圆恰好经过点，，若点的坐标为，则的值为　 　． 【例3】 如图，二次函数的图象与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点 ．点是线段上的动点，以为直径构造圆，连接交圆于点，连接．则的最小值是　　 ． 【例4】 已知二次函数的图象经过点，，，点为二次函数第二象限 内抛物线上一动点，轴于点，交直线于点，以为直径的圆与交于点． （1）求这个二次函数的关系式； （2）当三角形周长最大时．求此时点坐标及三角形的周长； （3）在（2）的条件下，点为上一动点，连接，点为的中点，连接，求的取值范围． 【例5】 如图1，二次函数、为参数，其中的图象与轴交于、 两点，与轴交于点，顶点为． （1）若，求的值（结果用含的式子表示）； （2）若是等腰三角形，直线与轴交于点，且．求抛物线的解析式； （3）如图2，已知，、分别是和上的动点，且，若以为直径的圆经过点，并交轴于、两点，求的最大值． 【例6】 如图1，过平面内一点作，垂足为，我们把称为点关于线 段的“幂值”，记作，比如：，，，则点关于线段的幂值． （1）已知等腰中，，，求幂值； （2）如图2，已知半径为5，定点在内，且，过点作的任意一条弦，则幂值是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请求出幂值的取值范围； （3）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线，，为常数，，与轴交于， 两点（点在点的左侧），是抛物线与轴负半轴的交点，若幂值，判断的形状，并求的值． 挑战训练 【挑战训练1】 如图，已知二次函数的图象与轴交于两不同点，、，，与轴的交点为．则的外接圆与轴的另一个交点的坐标是　　 ． 【挑战训练2】 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，大圆的圆心是该抛物线的顶点，小圆圆心是该抛物线与轴负半轴的交点，小圆的半径为，大圆与直线相切于点，小圆与轴相切于原点，两圆内切且大圆半径是小圆半径的6倍． （1）用表示，，； （2）当的面积为时，求抛物线对应的二次函数解析式． 【挑战训练3】 定义：平面直角坐标系中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． （1）已知点，以为圆心，为半径作圆．请判断是不是二次函数的坐标圆，并说明理由； （2）已知二次函数图象的顶点为，坐标圆的圆心为，如图1，求周长的最小值； （3）已知二次函数图象交轴于点，，交轴于点，与坐标圆的第四个交点为，连结，，如图2．若，求的值． 答案版： 【例1】 【解答】解：设，则圆的方程为，当取最小值时，该圆的面积最小，此时有唯一解． ， ， 将代入，得， 整理得， △， 解得， 该圆的最小面积是， 故选：． 【例2】 【解答】解：二次函数的图象与轴交于点， ， 以为圆心，以的长为半径的圆恰好经过点，， ， 的纵坐标为2， 设的坐标为， ，，， ，即， 解得， ， 把，代入得， 解得，． 故答案为． 【例3】 【解答】解：以为直径作圆，连接、； 的图象与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点， ，， ， ， 是直径， ， ， 在圆上， 在中，， 当、、在一条直线上时，取最小值， ， 故答案为． 【例4】 【解答】解：（1）设二次函数的关系式为， 将，，代入得： ，解得， 二次函数的关系式为； （2）， 直线为，， 由已知可得：，， 是等腰直角三角形， ， 三角形的周长为，三角形周长最大即是最大， 设，，则， ， ， 时，最大为2， 此时，三角形周长最大值为； （3）取的中点，以为半径作，直线交于、，如图： 由（2）知：，， ， ，， ， 的中点， ， 当在上运动时，的中点在上运动，且的半径是半径的，即， 当运动到时，取得最大值， 当运动到时，取得最小值， 的取值范围是． 【例5】 【解答】解：（1）， ， 令，得， ， ，， ，，， ； （2）二次函数的顶点为， ． 过作轴，交轴于点，如图： ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ①若，则， ， 解得或（舍， ； ②若，则， ， 解得或（舍， ； ③显然不存在． 抛物线的解析式为或； （3），，， ，， 以为直径的圆经过点， ， ，即， 解得或（舍， ， ， ， 取的中点，过点作轴于点，则在以为圆心，为半径的圆上运动， 由垂径定理得：， 在中，，求的最大值等价于求的最小值，求得的最大值即可求出的最大值， 的最小值为：， 的最大值为：， 的最大值为． 【例6】 【解答】解：（1）如图1，过点作于， ，， ， 幂值； （2）幂值不为定值，理由如下： 如图2，过点