2.7抛物线及其方程题型讲义-2023届高三数学一轮复习

第三节 抛物线及其方程 一、知识点击 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点坐标 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点坐标 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 二、典例分析 题型一：夯实基础——抛物线的标准方程及定义的简单应用 例1. 抛物线的焦点坐标为　　 A． B． C． D． 练习1.抛物线的焦点坐标为　　 A． B． C． D． 练习2.抛物线的准线方程为　　 A． B． C． D． 例2.抛物线的焦点到准线的距离为　　 A．2 B．1 C． D． 练习1.已知抛物线的焦点到准线距离为1，则　　 A．4 B．2 C． D． 例3.若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为　 　． 例4.求过点的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程 练习1.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5,2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝－2x B．y2＝－4x C．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x 例4. 顶点在原点、焦点在直线上的抛物线的标准方程是　 　． 练习1.焦点为的抛物线标准方程为　 　． 练习2.顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线方程是　 　． 题型二：焦半径 例1.抛物线上到焦点距离等于6的横坐标为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 练习1.已知抛物线的焦点为，，是上一点，，则　　 A．1 B．2 C．4 D．8 练习2.若点是抛物线上任意一点，是抛物线的焦点，则的最小值为 　　 A．1 B．2 C．3 D．4 例2.已知，，，，，，，是抛物线上的点，是抛物线上的焦点，若，则等于　　 A．8 B．10 C．12 D．16 练习1.如果，，是抛物线的点，它们的横坐标依次为，，，是抛物线的焦点，若，则　　 A． B． C． D． 题型三：焦点弦 例1.过抛物线的焦点的直线交抛物线于，、，两点，且，则弦的长为　　 A． B．4 C． D． 练习1.抛物线上有两点、到轴的距离之和为6，则点、到此抛物线焦点的距离之和为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 练习2.已知抛物线的顶点为原点，焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，且，则线段的中点到直线的距离为　 　． 题型四：最值问题 1.定义转化 例1．已知焦点为的抛物线，点，点在抛物线上，则的最小值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 练习1.已知抛物线，是抛物线上一点，为焦点，一个定点，则的最小值为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 练习2.已知抛物线，点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为　　 A．1 B．2 C． D． 2.抛物线中的将军饮马 例2.已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为6，若点为抛物线准线上的动点，则的最小值为　　 A．4 B． C． D． 练习1.已知为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为　　 A． B． C． D． 练习2.已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为4，若点为抛物线准线上的动点，则的最小值为　　 A． B．8 C． D． 直线与抛物线的位置关系 题型五：已知交点个数，求参数取值范围 例1.已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为．当为何值时，直线与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 练习1.已知直线过定点，抛物线，那么什么情况下直线与： （1）只有一个公共点； （2）有两个公共点； （3）没有公共点． 练习2.设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是(　　) 　　　　 练习3.已知直线及抛物线，则(　　) 直线与抛物线有一个公共点 直线与抛物线有两个公共点 直线与抛物线有一个或两个公共点 直线与抛物线可能没有公共点 题型六：抛物线中的重要结论 结论1. 例1.（2019.11四省模考）直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则　　，　　． 练习1．已知抛物线的焦点为，过点作不平行于坐标轴的直线交抛物线于，两点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 练