2.5椭圆及其方程题型讲义-2023届高三数学一轮复习

椭圆及其方程 一．知识切片 二．知识点击 1. 椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数2a（大于）的点的轨迹叫做椭圆。 其中，焦点：定点，焦距：=2c 符号语言：. 注意事项：当时，点的轨迹是椭圆； 当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在。 2.椭圆的标准方程及其性质 标准方程 图形 性质 范围 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 顶点坐标 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 3.椭圆的一般方程 为椭圆的一般方程，其中 注意：求椭圆方程时可以将方程设为。 4.共焦点的椭圆系方程 (1) .与椭圆有公共焦点的椭圆方程为； (2) .与椭圆有公共焦点的椭圆方程为. 5.相同离心率的椭圆系方程 与椭圆有相同离心率的椭圆方程为或 模块1 椭圆的定义及应用 例1.已知平面内动点P到两定点F1，F2的距离的和等于常数2a，关于动点P的轨迹正确的说法是　 　　 　． ①点P的轨迹一定是椭圆； ②2a＞|F1F2|时，点P的轨迹是椭圆； ③2a＝|F1F2|时，点P的轨迹是线段F1F2； ④点P的轨迹一定存在； ⑤点P的轨迹不一定存在． 练习1.下列命题是真命题的是　　 ①．平面内有一长度为4的线段AB，动点P满足|PA|+|PB|＝6，则点P的轨迹是椭圆； ②．已知，动点M满足|MF1|+|MF2|＝5，则点M的轨迹是椭圆； ③．设定点动点P满足条件，则点P的轨迹为椭圆； 练习2.（多选）下列命题是真命题的是　　 A．已知定点，则满足的点P的轨迹是椭圆； B．已知定点，则满足的点P的轨迹是线段； C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆； D．若点P到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点P的轨迹为椭圆。 例2.已知动点满足，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．线段 C．抛物线 D．椭圆 练习1.已知动点P满足方程则动点P的轨迹方程是　　 A． B． C． D． 例3.如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于E，则点E的轨迹是（　　） A． 圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 练习1.已知定点，点在圆上运动，为圆心，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹的方程为　 　． 模块二 求椭圆的标准方程 例1. 已知两定点，且2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|，则动点P的轨迹方程是　 　． 练习1.已知的周长为20，且顶点 ， ，则顶点的轨迹方程是　　 A． B． C． D． 例2. （1）已知椭圆C的右焦点为，并且经过点，求椭圆C的标准方程. （2）已知某椭圆过点，，求该椭圆的标准方程． 练习1．(1).已知某椭圆的左右焦点分别为，，且经过点，求该椭圆的标准方程； （2）.求经过两点的椭圆的标准方程. 例3.根据下列条件，写出椭圆方程：中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为、长轴长为8. 练习1.椭圆的两焦点为，,离心率，焦点到椭圆上点的最短距离为，求椭圆的方程． 练习2．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点．若椭圆的离心率为，且，△的面积为，则椭圆的方程为　　 A． B． C． D． 例4.（1）求满足下列条件的椭圆的标准方程：过点，且与椭圆有相同的焦点． （2）求经过点，且与椭圆有共同离心率的椭圆方程． 练习1.（1）求经过点,且与椭圆有共同焦点的椭圆方程； （2）求经过点，且与椭圆有共同离心率的椭圆方程. 模块三 椭圆几何性质 题型一 求参数取值范围 根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数取值范围时，首先把椭圆方程转化为标准形式，然后列不等式组求解，通常考虑两点： ①含项对应的分母都大于0； ②焦点在x轴上含项的分母大；焦点在y轴上含项的分母大 若焦点位置不确定，需要分类讨论。 例1．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 练习1．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（　　） A．m＞2或 B． C． D．m＞2或 练习2.a＜b是曲线ax2+by2＝1为焦点在x轴上的椭圆的（　　）条件. A． 充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D既不充分也不必要 题型二 焦点三角形 P为椭圆上异于长轴端点的点，则P和两焦点构成的三角形称为椭圆的焦点三角形。 椭圆的焦点三角形中常用的关系式： (1) 的周长； (2) 设，则，当 (3) 在处理椭圆中焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义整体代换求解及三角形中有关正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求解。