1.2空间向量在立体几何中的应用复习讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

空间向量的应用 一 知识切片 二．知识点击 模块一 利用空间向量证明平行、垂直 1.用向量方法证明空间平行关系的方法 线线 平行 设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R)． 线面平行 (1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0. (2)根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可． (3)证明一条直线l与一个平面α平行，只需证明l的方向向量能用平面α内两个不共线向量线性表示即可． 面面 平行 (1)转化为相应的线线平行或线面平行． (2)求出平面α，β的法向量u，v，证明u∥v即可说明α∥β. 2.利用空间向量证明垂直问题 线线垂直：利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标，进而求直线的方向向量． 线面垂直：利用向量法证明线面垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直于平面中的两条相交直线所在的方向向量，即证明它们的方向向量的数量积为0. 面面垂直：α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 题型一 利用空间向量证明平行问题 例1.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F. 练习1.　如图3­2­5，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面OC1D. 图3­2­5 练习2.在如图3­2­6所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG. 图3­2­6 题型二 利用空间向量证明垂直问题 线线垂直 例1.在棱长为a的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E. 练习1.正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AC的中点，证明： 图3­2­3 (1)BD1⊥AC； (2)BD1⊥EB1. 线面垂直 例2.如图3­2­14所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F. 图3­2­14 方法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量； (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 练习1.如图3­2­15，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：直线PB1⊥平面PAC. 图3­2­15 面面垂直 1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度． 例3.如图3­2­17所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 图3­2­17 练习1.在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC. 练习2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平面B1BD. 模块二 异面直线夹角 两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 (0，] [0，π] 求法 cosθ＝ cosβ＝ 注意： 1．几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可． 2．由于两异