模型08 垂线段最短模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

模型介绍 R【结论一】 如图 直线外一点A到直线上所有点的距离中，垂线段AM最小. R【结论二】 如图，在三角形ABC中，M、N分别是DE、BC上的动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值。则有以下结论成立： 过A作BC的垂线，垂足为Q，于DE相交于P，当M、N分别与P、Q重合时，AM+MN有最小值，即为AQ的长度. R方法点拨 1.题型特征： ①一定点 ②动点的运动轨迹为直线 R2.模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短. 例题精讲 【例1】.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是　 　． 变式训练 【变式1】．如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是　 　． 【变式2】.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是　 　． 【变式3】.如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值． 【变式4】.如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 　 　． 实战演练 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝5，则DE的最小值等于（　　） A．2.5 B．4 C．5 D．10 2．如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 3．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　） A．6 B．3 C．2 D．4.5 4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 5．如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（　　） A． B．1 C． D． 7．如图，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，点M是∠ABC平分线BD上一动点，点N是BC上一动点，则CM+MN的最小值是 　 　． 8．如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，E、F分别为线段AD、AB上的动点，其中AB＝8，AC＝10，BD＝，则BE+EF的最小值为 　 　． 9．如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F，G是对角线AC上的两个动点，且FG＝，连接EF，BG，则EF+BG的最小值为　　． 10．如图，在菱形ABCD中，A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M的位置变化时，DF长的最大值为 　 　． 11．如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是　 　． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过C、E、P三点⊙O交AC于F点，连接EF，则EF的最小值为 　 　． 13．如图，在平面直角坐标系中，点P，A的坐标分别为（1，0），（2，4），点B是y轴上一动点，过点A作AC⊥AB交x轴于点C，点M为线段BC的中点，则PM的最小值为 　 　． 14．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E为AB上一点，连接DE，以DE为斜边作等腰直角三角形EDF，∠EFD＝90°，则BF的取值范围是 　 　． 15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，动点M、N在斜边AB上，∠