模型07 将军饮马模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

模型介绍 一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： （一）、已知两个定点： 1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： A、A’ 是关于直线m的对称点。 2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点， 使得围成的四边形ADEB周长最短. 变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点 PA+PQ+QA周长最短. 二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析： 1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大； （1）点A、B在直线m同侧： 解：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB， 而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。 （2）点A、B在直线m异侧： 解：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’ 例题精讲 考点一、两定一动模型 【例1】.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（　　） A．7 B．6 C．9 D．10 变式训练 【变式1-1】．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE最小，则这个最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 【变式1-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为　 　． 【变式1-3】．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（5，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为 　 　． 考点二、一定两动模型 【例2】.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为________. 变式训练 【变式2-1】．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC＝4，若E是BC上的动点，F是AC上的动点，则AE+EF的最小值为　 　． 【变式2-2】.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是　 　． 【变式2-3】．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　 　． 考点三、线段差最大值模型 【例3】.如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______. 变式训练 【变式3-1】．如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（，﹣2），点P在直线y＝﹣x上运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为_________. 【变式3-2】．如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于　 　． 【变式3-3】．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点P为对角线BD上一动点，连接PC，PE，求|PC﹣PE|的最大值． 模型四、造桥选址模型（即动线段类型） 【例4】.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为 　 　． 变式训练 【变式4-1】．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，