模型05 相似三角形中的常见五种基本模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

模型探究 相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复. 模型一、A字型相似模型 A字型（平行） 反A字型（不平行） 模型二、8字型与反8字型相似模型 模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合） 模型四、共边角相似模型（子母型） 模型五、手拉手相似模型 例题精讲 考点一、A字相似模型 【例1】．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 变式训练 【变式1-1】．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，与DE交于点G．若，则＝　 　． 【变式1-2】.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝__________. 【变式1-3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分线AE交CD于点F． （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）若AF＝8，求AE的长度． 考点二、8字与反8字相似模型 【例2】．如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值 变式训练 【变式2-1】．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式2-3】.如图，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DE：BC＝　 　． 考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合） 【例3】.如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．13.5 变式训练 【变式3-1】.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝　 　． 【变式3-2】．如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2． （1）求EB的长； （2）求FG的长． 【变式3-3】.如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，． （1）求证：AB∥EF； （2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD． 模型四、子母型相似模型 【例4】.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证： （1）△ACP∽△PDB， （2）CD2＝AC•BD． 变式训练 【变式4-1】.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D． 【变式4-2】.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（　　） A．3 B．4 C． D．2 【变式4-3】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 　 　． 模型五、手拉手相似模型 【例5】.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为　 　． 变式训练 【变式5-1】.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE． 求证：（1）△BAC∽△DAE； （2）△BAD∽△CAE． 【变式5-2】.如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝　 　． 【变式5-3】．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为 　 　．（用含k的式子表示） 实战演练 1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（　　） A．＝ B． C． D． 2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（　　） A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．： 3．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝