9.5 三角形的中位线 讲义 2022—2023学年苏科版数学八年级下册

9.5 三角形的中位线 知识点梳理 知识点一、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 要点诠释：(1)三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. (2)三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. (3)三角形的中位线不同于三角形的中线. 模拟演习 例1. 如图，在四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点． 求证:四边形EFGH是菱形. 基础练习 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE=6，则BF的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 5 （第1题） （第2题） 2. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知 ∠ADE=65°，则∠CFE的度数为（ ） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 3. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（ ） A.矩形 B.菱形 C.对角线互相垂直的四力形 D.对角线相等的四边形 4. 如图，在Rt△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，AC=8，BC=6，则四边形CEDF的面积是________. （第4题） （第5题） （第6题） 5. 如图，将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A'处，若∠A=30°，∠B=115°，则∠A'NC=________°. 6. 如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF ， M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.AB=7，BE=5，则MN=________. 7. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是边BC上的高.求证: (1)四边形ADEF是平行四边形; (2)∠DHF=∠DEF. 巩固练习 8. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在DE的延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ） A. ∠B=∠F B. ∠B=∠BCF C. AC=CF D. AD=CF （第8题） （第9题） 9. 如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 10. 如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD=BC.过AC中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧)，且EF= 2CD，连接DF.若AB=8，则DF的长为________. 11. 如图，已知△ABC中，AB=AC，点О在△ABC的内部，∠BOC=90°， OB=OC，D、E、F、G分别是AB、OB、OC、AC的中点. (1)求证:四边形DEFG是矩形; (2)若DE=2，EF=3，求△ABC的面积. 12. 如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点. 【探究】 (1)如图①，BE的延长线与AC边相交于点D，求证:EF=(AC-AB); (2)如图②，线段AB、AC、EF之间的数量关系为________. 【应用】 (3)如图③，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=3，则DF的长为________. (4)如图④，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，过D作DE∥AB交AC于点E，BD=3，AD=4，求DE的长. 提优练习 13. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=10，点E在AD上且DE=2.点G为AE的中点，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF+EF的最小值为_______. 14. 如图①，在四边形ABCD中，AB= CD，E、F分别是AD、BC的中点，连接FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N.求证:∠BME=∠CNE.(提示:取BD的中点H，连接FH、HE作辅助线) 问题一:如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论. 问题二:如图③，在△ABC中，