9.4.2 矩形的判定 讲义 2022—2023学年苏科版数学八年级下册

9.4.2 矩形的判定 知识点梳理 知识点一、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 知识点二、平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线之间的距离处处相等． 注：两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 模拟演习 例1. 已知，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线. 求证:四边形DECF是矩形． 基础练习 1. 四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A. AB=CD B. AC=BD C. AB=BC D. AD=BC 2. 已知ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ） A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. AC=BD D. AB⊥BC 3. 如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM=DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（ ） A. OM=AC B. MB=MO C. BD⊥AC D. ∠AMB=∠CND 4. 如图，已知点D是△ABC的边BC(不含点B、C)上的一点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，要使四边形AFDE是矩形，则在△ABC中要增加的一个条件是:________. 5．如图，四边形ABCD的两条对角线交于点E，若AD∥BC，则图中面积相等的三角形共有________对. 6. 如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，试判断四边形EFGH的形状，并说明理由. 7. 如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形. (1)求证:四边形ACED是平行四边形; (2)如果AB=AE，求证:四边形ACED是矩形. 巩固练习 8. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB、EC、DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ） A. AB=BE B. BE⊥DC C. ∠ADB=90° D. CE⊥DE 9. 如图，∥，BE∥CF，BA⊥，DC⊥，下面给出四个结论:①BE=CF;②AB=DC;③;④四边形ABCD是矩形.其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是________. (只需写出一个符合要求的条件) 11. 如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD.若AE=2，PF=8，则图中阴影部分的面积为________. 12. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是________. 13. 已知:如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD. (1)求证:AB=AF; (2)若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论. 14. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，M、N在对角线AC上，且AM=CN，E、F分别是AD、BC的中点. (1)求证:△ABM≌△CDN; (2)点G是对角线AC上的点，∠EGF=90°，求AG的长. 提优练习 15. 已知平面上四点A (0，0)、B(4，0)、C(4，2)、D(0，2)，直线y=mx-m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为________. 16. (1)尝试证明:等腰三角形的探索中借助折纸发现:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.但是当时并未说明这个结论的合理性.现在我们学习了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了.如图①，若在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，则CD=AB，你能用矩形的性质说明这个结论吗? (2