专题3.1 圆与三角形的综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题3.1 圆与三角形的综合 【典例1】如图：在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，点E是上一点，AB＝12，连接BE交AC于点F； （1）若点E是的中点，求证：CB＝CF； （2）若AF＝8，△CFB是以CF为腰的等腰三角形，试求BE的长； （3）在（1）的条件下，连接DB，作∠ADB的角平分线交BE于点G，交⊙O于点H，若点G为BE的中点，直接写出DH的长． 【思路点拨】 （1）连接，由点E是的中点得到，根据与∠ABC＝90°，得到，再根据，结合等腰三角形性质即可得证； （2）根据题意，分两种情况：①；②；根据相似三角形得相似比求出线段长即可； （3）连接AE、ED，先由AB是⊙O的直径得到∠ADB＝90°，然后由DG平分∠ADB得到∠ADG＝∠BDG＝45°，再结合同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠BAH＝∠BDG＝45°，∠AOH＝2∠ADG＝90°，进而得到O\H、AH的长，再结合点E是的中点，即BE平分∠ABD；DG平分∠ADB得到AG是∠BAD的角平分线，从而得到∠GAD＝∠GAB，进而得到∠GAH＝∠HGA，从而得到AH＝HG，再证明AE=ED=EG=BG，证明△EDF∽△EBD，△EGD∽△HGB，最后用勾股定理计算即可． 【解题过程】 （1）证明：连接，如图所示： 点E是的中点， ， ， 以AB为直径作⊙O， ， , ∠ABC＝90°， , , , , 在中，，则根据等角对等边可得； （2）解：分两种情况：①；②； 个①当时，， , , , 在中，，，则， ， , ，即，解得； ②当时，， 过作于，如图所示： ， 设， 在中，，，则根据勾股定理得，解得， ， , ，即，设，则，， 根据（1）可知， , ，即，解得， 在中，，，则根据勾股定理得，解得（舍弃负值）， ； 综上所述：或； （3）解：连接AH、AG、OH，如图所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵DG平分∠ADB， ∴∠ADG＝∠BDG＝45°， ∴∠BAH＝∠BDG＝45°，∠AOH＝2∠ADG＝90°， ∴OH＝AO＝AB＝6， ∴AH＝， ∵点E是的中点，即BE平分∠ABD；DG平分∠ADB， ∴AG是∠BAD的角平分线， ∴∠GAD＝∠GAB， ∵∠GAH＝∠GAB＋∠HAB＝45°＋∠GAB，∠HGA＝∠GAD＋∠ADG＝45°＋∠GAD， ∴∠GAH＝∠HGA， ∴AH＝HG＝， 连接AE，ED， ∵点E是的中点， ∴AE=ED，∠EDF=∠EAD=∠ABE=∠DBE， ∴45°+∠EDF=45°+∠DBE， ∴∠EDG=∠EGD， ∴ED=EG=BG=， ∵∠EDF=∠DBE，∠DEF=∠BED， ∴△EDF∽△EBD， ∴， ∴， 设EF=x，则ED=2x=AE，EB=4x， ∵AB是圆的直径， ∴∠AEB=90°， ∴ ∴ ∴, 解得， ∵∠DEG=∠BHG，∠EDG=∠HBG， ∴△EGD∽△HGB， ∴， ∴， ∴=， ∴DH=DG+GH==． 1．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，OA是⊙O的半径，且OA=6．延长OA至点B，使得OA=AB．弦DE过OA的中点C (D、 O、A不共线)， 连接DB． （1）如图1，当DE= DB时，证明∶ DE⊥0A． （2）如图2， 设DB=x， DE=y，求y与x的函数关系式，并写出定义域． （3）△DCB能否是一个含有45度角的三角形，如果能，请求出CE的长，如果不能请说明理由． 2．（2022·广东深圳·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，AD、BC分别是⊙O的切线，连接OC、OD、CD，且CO平分∠BCD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求证：OC⊥OD； （3）若⊙O的半径是2，，且AD<BC，求的值． 3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，内接于，，点D为劣弧上动点，延长，交于点E，作交于F，连接． （1）如图①，当点D为的中点时，求证：； （2）如图②，若，，请用含有α的代数式表示； （3）在（2）的条件下，若， ①求证：； ②求的值． 4．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足交于点G，，连结，．设． （1）用含的代数式表示． （2）求证：． （3）如图2，为的直径． ①当的长为2时，求的长． ②当时，求的值． 5．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，等腰直角三角形中，为边上一动点（点不与点，重合），以为直径作圆，圆交于点，为优弧的中点，连接交于点． （1）直接写出的度数； （2）如图1，求的值； （3）如图2，连接、，求的最小值． 6．（2022·浙江宁波·统考二模）如图1，中，边上的中线，延长交的外接圆于点，过点作DEB