专题1.3 三角形中的几何综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题1.3 三角形中的几何综合 【典例1】问题探究 （1）如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，连接，判断的形状，并说明理由． （2）如图2，在中，，点D为边的延长线上一点，且，过点A作且，连接，求证：． （3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在x轴上方是否存在一点B，使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）证明△ABE≌△ECD （SAS），得AE=DE，∠AEB=∠EDC，即可求解； （2）证明，得到，再证出EF是线段AD的垂直平分线，即可得到答案； （3）分别三个顶点分别为一次直角，进行求解，注意分类讨论，发现与全等三角形，找到边与边之间的关系． 【解题过程】 （1）解：△AED是等腰直角三角形， 证明：∵在△ABE和△ECD中， ∴△ABE≌△ECD （SAS） ∴AE=DE，∠AEB=∠EDC， ∵在Rt△EDC中，∠C=90°， ∴∠EDC+∠DEC=90°． ∴∠AEB+∠DEC=90°． ∵∠AEB+∠DEC+∠AED=180°， ∴∠AED=90°． ∴△AED是等腰直角三角形； （2）如图，过点E作AD的中点F，连接EF． ∵点F是AD的中点 ∴AD=2AF ∵ ∴AF=BC ∵， ∴， ∴ ∵，AF=BC ∴ ∴ ∵点F是AD的中点 ∴EF是线段AD的垂直平分线 ∴AE=DE （3）情况一：是等腰直角三角形，且AB=OB， 假设点B存在,过点B作y轴的垂线，垂足为点P，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，两条垂线交于点N ∵是等腰直角三角形 ∴AB=OB， ∴ ∵ ∴， 又∵AB=OB ∴ 设PB=x，则BN=3-x ∵ ∴AN=PB=x ∴ ∴ ∴ 解得：或（舍去） 故此时B 情况二：是等腰直角三角形，且AB=AO， 假设点B存在，过点B作y轴的垂线，垂足为点P，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，两条垂线交于点N 同情况一可证： ∴AN=OC=3,BN=AC=2 ∴PB=OC-BN=3-2=1,NC=NA+AC=3+2=5 故此时B 情况三：是等腰直角三角形，且OB=AO， 假设点B存在，过点B作y轴的垂线，垂足为点P，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，两条垂线交于点N 同情况一可证： ∴OP=CO=3,BP=AC=2 故此时B 综上所述，点B坐标为：或或． 1．（2023秋·湖南娄底·八年级统考期末）如图中，，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·八年级单元测试）如图，中，，点D在内部，且使得．则的度数为（    ） A． B． C． D．不能确定 3．（2023秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）如图，在等腰中，，，点D是线段上一点，，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023春·云南普洱·八年级普洱一中校考开学考试）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①∠ACN＝∠BCN；②GF＝EF；③∠GNC＝120°；④GM＝CN；⑤EG⊥AB，其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，交AB的延长线于点E，于点F，现有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④ 6．（2023春·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①；②当时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 7．（2023春·八年级课时练习）如图，在中，，， 于点，平分交于点，交于点，过点作 于点，交于点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．①② B．②④ C．①②③ D．①③④ 8．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，，点D为平分线上一点，的垂直平分线交分别于点P，O，点E是上异于点P的一点，且，则的面积为_______． 9．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，D是等边三角形外一点，，，当长最大时，的面积为____________． 10．（2023春·八年级课时练习）如图，长方形中，，点是射线上一点，将沿折叠得到，点恰好落在的垂直平分线上（直线也