专题06 圆锥曲线离心率及范围问题-2023年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

专题06 圆锥曲线离心率及范围问题 【命题趋势】 离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一，有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现。 【知识储备】 关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种方法：1）利用圆锥曲线的定义解决；2）利用题中的几何关系来解决问题。另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围． 【经典例题】 1）圆锥曲线的离心率 方法1：利用定义法求离心率（主要使用椭圆和双曲线的第一定义） 方法技巧：一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时，尽量转化为定义去考虑，会更简单！ 1.（2015浙江高考真题）椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ． 2．（2023秋·山东临沂·高三校考期末）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P是双曲线右支上的一点，与y轴交于点A，的内切圆在边上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是______. 3．（2021·全国·统考高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 方法2：利用几何关系求离心率： 方法技巧：初高中平面几何的全部知识都可以涉及。 1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是____． 3．（2023·湖北·宜昌市联考模拟预测）设椭圆的离心率，C的左右焦点分别为，点A在椭圆C上满足．的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴于点D．已知，则_______． 4．（2022·江西新余·统考二模）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______． 方法3：定义法+几何关系结合 1．（2022·全国·统考高考真题）（多选题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·云南红河·统考一模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，若E上存在点P，满足，（O为坐标原点），且的内切圆的半径等于a，则E的离心率为______． 3．（2023秋·广东·高三校考期末）已知O为坐标原点，P是椭圆E：上位于x轴上方的点，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点，，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知圆过双曲线的左、右焦点，，曲线与曲线在第一象限的交点为M，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 2）圆锥曲线离心率的取值范围 方法1：利用三角形三边关系建立不等式。 1．（2023·甘肃兰州·高三期末）已知椭圆上存在点P，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·新疆·高三校考开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（2022.成都市高三模拟）已知椭圆：的左、右焦点分别为，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 方法2：利用判别式建立不等式 1．（2022·浙江·高三校联考期中）已知椭圆，若存在过点且互相垂直的直线，，使得，与椭圆C均无公共点，则该椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.(2022广东高三期中)已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，若存在直线过点交双曲线的右支于，两点，使，则双曲线离心率的取值范围是 ． 方法3：利用角度的余弦值或数量级建立不等式 1．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知椭圆的左、右