专题07 圆锥曲线的最值（范围）问题-2023年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

专题07 圆锥曲线的最值（范围）问题 【命题趋势】 圆锥曲线的最值（范围）问题，因考查知识容量比较大，分析能力要求高，区分度高成为高考命题老师青睐的一个热点。 【知识储备】 关于圆锥曲线最值（范围）问题处理常见有两种方法：1)利用圆锥曲线的定义和几何关系解决；2)利用基本不等式或函数最值问题解决。 【经典例题】 方法1.利用定义法和几何关系求最值 解题技巧:遇见椭圆和双曲线中的最值问题常把到左焦点的距离转化为右焦点，反之也可以；遇见抛物线中的最值常把到焦点的距离转化为到准线的距离，反之也可以。 1．（2023·湖南·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，从而可得出答案. 【详解】设，则，化简整理得， 所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，抛物线的焦点，准线方程为， 则， 当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号， 所以的最小值为.故选：D. 2．（2022秋·浙江金华·高三校考期中）已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由条件确定点的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值. 【详解】∵  抛物线的方程为，∴  ，抛物线的准线方程为， ∵ 方程可化为，∴过定点， 设，设的中点为，则，因为，为垂足， ∴， 所以，即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 过点作准线的垂线，垂足为，则,∴ ，又， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立，∴ ， 过点作准线的垂线，垂足为，则,当且仅当三点共线时等号成立， ∴ ，当且仅当四点共线且在之间时等号成立， 所以的最小值为，故选：A. 3．（2023·成都市·高三专题练习）点F2是双曲线的右焦点，动点A在双曲线左支上，直线l1：tx﹣y+t﹣2＝0与直线l2：x+ty+2t﹣1＝0的交点为B，则|AB|+|AF2|的最小值为（    ） A．8 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】由题意求出直线l1，l2的交点B为圆心在（0，﹣2），半径为1的圆，由双曲线的定义可得|AF2|＝|AF1|+2a，所以|AB|+|AF2|＝|AB|+|AF1|+6，当A，F1，B三点共线时，|AB|+|AF2|最小，过F1与圆心的直线与圆的交点B且在F1和圆心之间时最小. 【详解】由双曲线的方程可得a＝3，b，焦点F（﹣2，0），可得|AF2|＝|AF1|+2a＝|AF1|+6， 所以|AB|+|AF2|＝|AB|+|AF1|+6，当A，F1，B三点共线时，|AB|+|AF2|最小， 联立直线l1，l2的方程，可得，消参数t可得x2+（y+2）2＝1， 所以可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆，（点B的轨迹也可有两之间过定点+垂直得到） 所以|AB|+|AF2|＝|AB|+|AF1|+6≥|BF1|+6≥|MF1|-1+65＝9， 当过F1与圆心的直线与圆的交点B且在F1和圆心之间时最小.所以|AB|+|AF2|的最小值为9，故选：C 【点睛】本题考查求轨迹方程及双曲线的性质，三点共线时线段之和最小，属于中档题. 4．（2023·河南郑州·统考一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线定义数形结合判断取最小值时，三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为，即可求解的值. 【详解】由双曲线定义得, 故 如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值， ，故方程为， 联立，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)， 故 故选：A 5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆内有一点P(1，1)，F为右焦点，椭圆上的点M.（1）求的最大值；（2）求的最小值；（3）求使得的值最小时点M的坐标. 【答案】（1）；（2）（3） 【解析】（1）利用数形结合，根据三点共线分析的最大值；（2）利用椭圆的定义转化，求的最小值；（3）利用椭圆的第二定义，转化，再利用数形结合分析得到最小值，以及取得最小值时的点的坐标. 【详解】（1），所以，即 当点三点不共线时，，如图当三点共线时，，即，所以的最大值是， （2）设椭圆的左焦点，根据椭圆定义可知， 即，如图，当三点共线时，等号成立，