专题14 数列的通项公式（已知递推式）-2023年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题14 数列的通项公式 数列是高中数学的基本板块，是高考数学中的热点和必考点，数列的通项作为数列的灵魂，因此数列的通项公式的求法就备受命题老师亲睐。特别是递推数列的通项问题是高考的热点问题，又是高中数学教学的难点之一。综观近年的高考试题可知，高考数学往往通过考查递推数列来考查学生对数学知识的探究能力。数列大题第一问往往也考察递推公式为主的求通项，这也是复习的重点。本专题就累加法、累乘法、倒数法、待定系数法、定义法等十多种方法逐一进行分析，以便大家熟练掌握。 一、热点题型归纳 题型1. 等差（等比）定义型 题型2. 累加法 题型3. 累乘法 题型4. 倒数法 题型5. 取对数法 题型6. 待定系数法 题型7. 同除以指数幂 题型8. 已知通项公式与前项的和关系求通项问题 题型9. “求和公式换元”型（新数列前n项和型） 题型10. 奇偶讨论型 题型11. 周期数列 二、最新模考题组练 三、十年高考真题练 【题型1】 等差（等比）定义型 【解题技巧】 等差数列判定：①定义法：证an＋1－an＝定值；②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2； ③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数. 等比数列的判定方法：(1)定义法：证＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列； (2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列． 【典例分析】 1．（2023·浙江·高三专题练习）已知数列满足，，则=（    ） A．80 B．100 C．120 D．143 【答案】C 【分析】根据，可得，从而可证得数列是等差数列，从而可求得数列的通项，即可得解. 【详解】解：因为，所以，即， 等式两边开方可得：，即， 所以数列是以首项为，公差为1的等差数列， 所以，所以，所以.故选：C． 2．（2023·绵阳市·高三模拟预测）已知数列的前n项积为，若，，且，则使最大的正整数n的值为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】B 【分析】由可知数列为等比数列，将公比代入可求出的值，从而求出数列的首项，当且前项的积为正时最大，从而求出结果. 【详解】易知，因为，，所以，， 将其代入，得，所以， 即数列是以128为首项，为公比的等比数列，所以，，， 当时，，所以，因为均小于0，即，，故最大.故选：B． 3．（2022·陕西西安·高三校联考期中）在数列中，，，且，则数列的通项公式是__________． 【答案】 【分析】根据确定数列为等比数列，再利用等比数列公式计算得到答案. 【详解】，故是等比数列， ，故.故答案为： 【变式演练】 1.（2023·甘肃·高三阶段练习）数列的各项都是正数，，，那么此数列的通项公式为________． 【答案】 【分析】，，即，可得：数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出． 【详解】解：，，即， 数列是等差数列，公差为2，首项为4．，， ．故答案为：． 2．（2022·江苏苏州·高三期中）（多选题）若数列满足，且，则首项可能是（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】AD 【解析】由题意可知或，分别讨论两种情况下的即可. 【详解】因为，所以或， 当时，是公差为1的等差数列，此时， 当时，是公比为3的等差数列，此时，故首项可能是或，故选：AD 3．（2022·四川·校联考模拟预测）已知为数列的前n项和，且，，则_______． 【答案】 【分析】由条件可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，然后可算出答案. 【详解】由得，且，解得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．故答案为： 【题型2】 累加法 【解题技巧】形如型的递推数列（其中是关于的函数）叫累加法。 可构造将上述个式子两边分别相加， 可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 【典例分析】 1．（2022·河南·高三专题练习）已知，，求通项________. 【答案】 【解析】解： ，即， ， ，，， ， 以上各式相加得， 又，所以，而也适合上式，.故答案为： 2．（2022·广西·高三专题练习）数列中，，则__________. 【答案】 【解析】因为，所以， 则当时， ，将个式子相加可得 ，因为，则， 当时，符合题意，所以.所以 故答案为：. 【变式演练】 1．（2022·陕西·模拟预测（理））已知数列满足，，且，则（       ） A．6065 B．6064 C．4044 D．4043 【答案】B 【分析】先由得到，再利用裂项抵消法进行求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，，，，