专题15 数列求和-2023年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题15 数列求和 数列的求和问题高考命题中的热点问题，数列的求和会渗透多种数学思想，会跟其他知识进行结合进行考查。因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可。常见的数列求和方法：裂项相消、错位相减、分组求和、分段求和、倒序相加等。本专题就常用的数列求和方法和思路进行梳理总结，以便大家在考试中灵活运用。 一、热点题型归纳 题型1.等差（等比）数列求和 题型2.分组求和 题型3.裂项相消法（1）裂差 题型4.裂项相消法（2）裂和 题型5. 错位相减法 题型6.分段数列求和 题型7.正负相间求和（并项求和） 题型8.倒序相加求和 题型9.先放缩在求和 二、最新模考题组练 三、十年高考真题练 【题型1】等差（等比）数列求和 【解题技巧】 针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解． 等差：前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ ;等比：前n项和公式：Sn＝ 【典例分析】 1．（2022·福建泉州·模拟预测）记等比数列{}的前n项和为.若，则=（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到，，从而求出公比，利用求和公式求出答案. 【详解】因为，所以，因为，所以，所以公比， 所以 故选：C. 2．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列是等差数列，是等比数列的前n项和，，，．(1)求数列，的通项公式；(2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)，；(2)最大值16，最小值8 【分析】（1）根据给定的条件，求出等差数列的首项及公差，等比数列公比求解作答. （2）由（1）可得，再分为奇数与偶数时，结合的单调性求解即可. （1）设等比数列的公比为，因，，则，解得，即有， 设等差数列的公差为，因，，则，解得，即， 所以数列，的通项公式分别为，. （2）由（1）知，， 当时，，此时数列是递减的，恒有，此时； 当时，，此时数列是递增的，恒有，此时； 综上可得，的最大值为16，最小值为8. 【变式演练】 1．（2022•西安一模）已知数列的前项和为，满足，则数列的前16项和 　． 【解析】解：，化为，即， ，为等差数列，公差，．故答案为：84． 2．（2022·江苏·模拟预测）已知数列的首项，，前n项和满足，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，进而可得，然后可得，利用等差数列的定义及求和公式即得. 【详解】由得， 即，所以，所以， 两式作差，得，即，所以， 所以或，又，故，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以数列的前n项和.故选：A. 3．（2022.山西模拟）已知等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和． 【解析】解：（1）设数列的公差为，由题意得 解得，，的通项公式为． （2）由得，是首项为，公比的等比数列． ． 【题型2】分组求和 【解题技巧】分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减. 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减. 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减. 【典例分析】 1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三校考月考）设数列的前n项和为，，且，若，则n的最大值为（    ） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】B 【分析】已知式变形后得出是以－1为公比的等比数列，从而可求出通项公式，然后由分组求和法求得，结合函数单调性可得结论． 【详解】∵，∴， ∵是以－1为公比的等比数列，∴，, ∴， 当n为偶数时，无解，当n为奇数时，， ∴，又，∴，即， 即，在上是增函数，又n为奇数，，， 故n的最大值为51.故选：B. 2．（2022·黑龙江大庆·高三校考期中）已知数列满足，，设.(1)求证数列为等差数列，并求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析，(2) 【分析】（1）将条件等式两边同时除以后即可证明；（2）代入，然后用分组求和法求和. 【详解】（1）由得，即，又， 数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，即； （2）由（1）得， . 【变式演练】 1．（2023·福建漳州·统考二模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，，则数列的前20项和是（    ） A．11