解密14 数列的通项公式常考求法（讲义）-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密14 数列的通项公式常考求法 【考点解密】 1．Sn和an关系法求数列通项（作差法）： (1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式． (2)Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 2．累加法 当出现an＋1＝an＋f (n)时，用累加法求解． 3．累乘法 当出现＝f (n)时，用累乘法求解． 4．构造法 类型1： 用“待定系数法”构造等比数列 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式； 2、直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好； 3、构造等比数列 类型2：用“同除法”构造等差数列 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2的标准形式； 2、两边同除； 3、构造数列为等差数列 类型3：用两边同时取倒数构造等差数列（1） 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式； 2、两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型； 3、构造数列为等差数列. 类型3：用“同除法”构造等差数列（2） 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式； 2、两边同除； 3、构造出新的等差数列 类型4：用“待定系数法”构造等比数列 an＋1＝pan＋qan－1 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式； 2、可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根； 3、若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}． 【方法技巧】 常见的裂项公式： （1）； （2）； （3）； （4）. 给出 与 的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求. 【核心题型】 题型一：累加法求通项公式 1．（2022·上海虹口·统考一模）已知函数，数列满足，且（为正整数）．则（    ） A． B．1 C． D． 2．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（    ） A．196 B．197 C．198 D．199 题型二：累乘法求通项公式 4．（2022秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）在数列中，且，则它的前项和（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：Sn和an关系法求数列通项 7．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2022秋·甘肃武威·高三校考阶段练习）已知数列满足，设，则数列的前2023项和为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国·高三专题练习）数列的前项和，则数列中的最大项为（    ） A． B． C． D． 题型四：构造法求通项公式 10．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知数列中，，，则数列的前10项和（    ） A． B． C． D．2 11．（2022·全国·高三）若数列和满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2022·江西萍乡·统考一模）数列各项均是正数，，，函数在点处的切线过点，则下列命题正确的个数是（    ）． ①； ②数列是等比数列； ③数列是等比数列； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 题型五：观察法求通项公式 13．（2022·全国·模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，现将大衍数列各数按照如图排列形成一个数表，则该数表中第8行第3个数是（   ） A．152 B．480 C．512 D．840 14．（2021·广东珠海·统考一模）已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形