专题04 圆锥曲线与外心问题-2023年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

专题04 圆锥曲线与外心问题 【命题趋势】 从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重考查知识本身又注重考查学生综能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值、离心率等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考。 【知识储备】 三角形的外心：三角形三条垂直平分线的交点 (1)、O是的外心(或)； (2)、若点O是的外心，则=0. (3)、若O是的外心，则; (4)、多心组合：的外心、重心、垂心共线，即∥ 【经典例题】 1．（2022·广东·高三专题练习）在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x 【答案】D 【分析】由M是三角形外心可得，根据圆周角与圆心角关系得∠F1PF2＝，根据余弦定理、双曲线的定义得，由三角形面积公式，即可确定的数量关系，写出渐近线方程即可. 【详解】由△PF1F2的外心M，知：， ∴在△中，，即，故∠F1PF2＝， 在△中，，而， ∴，即， ∴， 而， ∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：．故选：D． 【点睛】关键点点睛：利用外接圆的性质求∠F1PF2，由余弦定理、双曲线的定义及三角形面积公式求焦点三角形的面积，进而确定双曲线参数的数量关系. 2．（2022·浙江·高三专题练习）设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】先由可确定、、三点共线,则根据外心的性质可得,再由点为焦点的中点,根据中位线性质可得,则,进而在中利用勾股定理求解. 【详解】由题,因为,所以、、三点共线, 因为点为线段的中点,的外心为,所以,即, 设双曲线的左焦点为,则点为线段的中点, 则在中,,即,所以是直角三角形,所以, 因为,由双曲线定义可得,所以, 则,因为,整理可得,所以,则,故选:D 【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的定义的应用. 3．（2022秋·安徽·高三校联考期末）已知双曲线的左、右焦点恰为椭圆的两个顶点，设椭圆E的上焦点为P，过点的直线l交双曲线C右支于点A、B，若点A在第一象限，的外心Q恰好落在y轴上，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意结合椭圆方程求相关点的坐标，分类讨论直线的斜率是否存在，结合外接圆的性质运算求解. 【详解】由椭圆可得：， 故椭圆E的左、右顶点分别为，椭圆E的上焦点， 则，故双曲线， 设双曲线的焦距为，则，即，故， 当直线l斜率不存在时，直线方程为，则，AB边上中垂线为x轴， 若外心Q落在y轴上，则，但此时，由，则不符合题意； 当直线l斜率存在时，设， 联立消去y可得，则，， 因为A，B位于双曲线C的右支，则或，则， 设AB的中点，则Q在AB的中垂线上， 所以，解得，所以，由，可得，整理得，由，得或（舍去）， 综上所述：直线方程为．故选：D． 4．（2023·重庆·高三专题练习）已知椭圆：，过其左焦点作直线l交椭圆于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B.若G点为的外心，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上都不对 【答案】C 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程得到韦达定理，结合外心的性质，求得点的坐标，再用弦长公式求得，再求结果即可. 【详解】根据题意可得，显然直线的斜率存在，故可设其方程为， 联立椭圆方程可得：，设， 故，，， 故， 设的中点为，则其坐标为， 显然轴垂直平分，故可设，又直线方程为：， 令，解得，故，故.故选：C. 5．（2022秋·浙江杭州·高三校考阶段练习）（多选题）设双曲线左右焦点分别为，，设右支上一点P与所连接的线段为直径的圆为圆，以实轴为直径的圆为圆，则下列结论正确的有（    ） A．圆与圆始终外切 B．若与渐近线垂直，则与圆相切 C．的角平分线与圆相切 D．三角形的内心和外心最短距离为2 【答案】ABD 【分析】利用圆心距与半径的关系判断两圆是否外切，圆心到直线距离与半径的关系判断直线是否与圆相切，判断三角形内心和外心的位置特征，计算内心和外心最短距离. 【详解】双曲线，左右焦点分别为，，设，满足， P与所连接的线段为直径的圆为圆，则，半径， 实轴为直径的圆，圆心，半径，如图所示： ， ，所以圆与圆始终外切，A选项正确； 双曲线