专题03 圆锥曲线与垂心问题-2023年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

专题03 圆锥曲线与垂心问题 【命题趋势】 从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重考查知识本身又注重考查学生综能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值、离心率等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考。 【知识储备】 三角形的垂心：三角形三条高线的交点 （1）、H是的垂心。 （2）、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离得2倍。 【经典例题】 1．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知抛物线上有三点，，，的垂心在轴上，，两点的纵坐标分别为，，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得出，两点的坐标，设出点和垂心的坐标，利用和，列方程组，消去解出，得到点的纵坐标． 【详解】点在抛物线上，纵坐标为，则，同理可得，设点，垂心，则，，即，化简得：，消去可得，解得或(舍)故选：B 2．（2022·湖南永州·统考二模）设抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且与轴不垂直，在直线上的射影为，若的垂心在抛物线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为点，设线段交抛物线于点，求出点的坐标，设点，则，由已知可得出，求出的值，可得出点的坐标，利用抛物线的定义可求得的值. 【详解】过点作，垂足为点，设线段交抛物线于点，易知点， 将代入，可得，不妨取点， 设点，则，则，， 由已知可得，即， 因为点与点不重合，则，从而，则点，因此，.故选：B. 3．（2022·浙江温州·高三统考期末）设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在直线上的射影为，若的垂心在抛物线上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，则点，求出的垂心的坐标，再由可求得的值，进而可求得的面积. 【详解】设点，则点，设点在第一象限， 抛物线的焦点为，设的垂心为， 由于，则点的横坐标为，可得点， ，则，，， ，解得， 所以，点的坐标为，所以，，.故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用已知条件求出点的坐标，本题特殊的地方在于轴，可得出垂心与焦点的连线垂直于轴，再结合垂心在抛物线求出垂心的坐标. 4．（2023·山东·高三专题练习）记椭圆：的左右焦点为，，过的直线交椭圆于，，，处的切线交于点，设的垂心为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先根据题意，得到，，设直线的方程为，，，求出在点，处的切线方程，联立切线方程，得出点，根据题意，得到轴，得出的横坐标为，再由求出的纵坐标为，得出，结合基本不等式，即可得出结果. 【详解】椭圆的左右焦点为，， 由题意，易知直线的斜率存在，（若斜率不存在，则三点共线，不能构成三角形），设直线的方程为，，， 对两边同时求关于的导数，得，则， 则椭圆在点处的切线斜率为， 则椭圆在点处的切线方程为，即，即； 同理，椭圆在点处的切线方程为，由得， 则， 所以，即； 又的垂心为，则，， 即轴，则的横坐标也为，记的纵坐标为， 由得，所以，则， 因此，因为过点，所以直线与椭圆必有两个交点，故且， 则， 当且仅当，即时，等号成立.故选：D. 【点睛】本题考查椭圆中的最值问题，考查椭圆的切线方程，涉及基本不等式求最值，属于跨章节综合题. 5．（2023·吉林长春·高三阶段练习）设双曲线：的左顶点与右焦点分别为，，以线段为底边作一个等腰，且边上的高.若的垂心恰好在的一条渐近线上，且的离心率为，则下列判断正确的是（     ） A．存在唯一的，且 B．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内 C．存在唯一的，且 D．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内 【答案】A 【分析】由题意可设，进而得到的垂心，再代入渐近线的方程化简可得 【详解】由题意可设，设的垂心，则，，由可得，解得，故. 因为的垂心恰好在的一条渐近线上，所以，即，化简可得，设，则. 作出与的图象，因为当时，，当时，，故存在唯一的，且，使得当. 即存在唯一的，且，使得.故选：A. 6．（2023·河北衡水·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆E以两坐标轴为对称轴，左，右顶点分别为A，B，点P为第一象限内椭圆上的一点，P关于x轴的对称点为Q，过P作椭圆的切线，若，且的垂心恰好为坐标原点O，记椭圆E的离心率为e，则的值为_________. 【答案】 【分析】分焦点在轴和轴两种情况进行求解，先考虑焦点在轴上时，根据题目条件得到，，即，，再得到椭圆在处的切线方程斜率为，得到，设，结合点在椭圆上，，求出，得到，求出，再用同样的方法考虑焦点在轴上时，求出离心率为复数