专题05 圆锥曲线的光学性质问题-2023年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

专题05 圆锥曲线的光学性质问题 【命题趋势】 从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重考查知识本身又注重考查学生综能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值、离心率等几乎成为研究的常规问题。从近年高考的趋势看圆锥曲线的光学性质必将在高考占一席之地。因此在高考数学复习中，通过让学生研究圆锥曲线的光学性质和新定义的相关问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考。 【知识储备】 1）椭圆有如下光学性质：光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点； 2）双曲线有如下光学性质：光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出； 3）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线（光线不同过抛物线对称轴上任意两点）经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点. 【经典例题】 1）椭圆的光学性质： 1．（2022秋·福建泉州·高三期中）（多选题）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，现有一个水平放置的椭圆形台球盘，点是它的焦点，长轴长为4，焦距为2，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程可能是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】ACD 【分析】结合椭圆的定义以及椭圆的光学性质求得正确答案. 【详解】依题意， 当小球从A点出发，经过左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是， 当小球从点出发，经过右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是， 当小球从A点出发，经过非左右顶点的位置，反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是. 故选：ACD 2．（2022·吉林·高三期中）（多选题）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆相切于点，且，关于直线的对称点为，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．，，三点共线 C． D． 【答案】BCD 【分析】对A：根据椭圆的定义结合余弦定理运算判断；对B、C：根据题意结合对称性分析判断；对D：根据题意结合正弦定理运算判断. 【详解】由题意可知：，即，∵，则， ∴，且，则，A错误； 根据结合光线反射可知：，C正确； 设，根据对称可知：， ∴，故，，三点共线，B正确； 在中，由正弦定理，则， 同理在中得， ∵，则， ∴，则，即，D正确；故选：BCD. 3．（2023春·广东·高三统考）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程，，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 则，，即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，，则.故选：C. 4．（2023秋·广东佛山·高三期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个集点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭圆.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝，与影片门应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆：，椭圆的左右焦点分别为，，一束光线从发出，射向椭圆位于第一象限上的Р点后反射光线经过点，且，则的角平分线所在直线方程为__________. 【答案】 【分析】先利用同角三角函数基本关系求出，再在中利用余弦定理及椭圆的定义求出，进而得到为直角三角形，利用中角的关系可求出，再通过求出点坐标，则直线方程可求. 【详解】如图，设的角平分线与轴交于点， ，， 设，则，解得 ，即为直角三角形 又，， ， ，当时，，得，， ，即故答案为： 5．（2022·全国·高三专题练习）如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，已知与的离心率之比为.现一光线从右焦点发出，依次经与的反射，又回到了点，历时秒.将装置中的去掉，如图④，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时___________.秒 【答案】## 【分析】由题意可，得根