模型01 平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

平行线拐点之 猪蹄、锯齿、铅笔模型 大 招 模型介绍 模型一：猪蹄与锯齿模型 【模型结论】 如图，直线MA∥NB，则：①∠APB＝∠A+∠B； ②∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3； ③∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 【证明】：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下 如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 【模型辨析】 ①注意：拐角为左右依次排列 ②若出现不是依次排列的，应进行拆分 模型二：铅笔模型 【模型结论】 如图1：AB∥CD，则∠1+∠2＝　180°； 如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝360°； 如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。 【证明】在图1中，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°； 在图2中，过E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴EF∥CD， ∴∠1+∠AEF＝180°，∠3+∠CEF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图3中，过E作AB的平行线EN，过点F作AB的平行线FM， ∵AB∥CD，∴EN∥CD∥FM，∴∠1+∠AFM＝180°，∠MFE+∠FEN＝180°， ∠NEC+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝540°； 在图4中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 【模型辨析】 ①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 例题精讲 考点一：猪蹄模型 【例1】．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（　　） A．132° B．134° C．136° D．138° 变式训练 【变式1-1】．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　） A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90° 【变式1-2】．如图，AB∥CD，∠ABN＝∠NBM，∠CDN＝∠MDN，∠M＝160°，则∠N＝　 　． 【变式1-3】．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　． 考点二：锯齿模型 【例2】．若AB∥CD，∠CDF＝∠CDE，∠ABF＝∠ABE，则∠E：∠F＝　 　． 变式训练 【变式2-1】．如图，直线AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝40°，则∠GHM的大小是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【变式2-2】．如图①，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作： 第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1；第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2；第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3…第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En． 如图②，若∠En＝b°，则∠BEC的度数是 　 　． 考点三：铅笔头模型 【例3】.已知AB∥CD，试解决下列问题： （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　． （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3等于多少度？请说明理由． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　． （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝　 　． 变式训练 【变式3-1】．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 【变式3-2】．如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE段，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数是　 　． 【变式3-3】．如图，两直线AB与CD平行，则∠1