模型04 一线三等角模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

模型介绍 一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 类型一：一线三直角模型 如图，若∠1、∠2、∠3都为直角，则有△ACP∽△BPD． 类型二：一线三锐角与一线三钝角模型 如图，若∠1、∠2、∠3都为锐角，则有△ACP∽△BPD． 证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3 ∴∠C＝∠DPB， ∵∠1＝∠2， ∴△ACP∽△BPD 如图，若∠1、∠2、∠3都为钝角，则有△ACP∽△BPD．（证明同锐角） R【解题关键】构造相似或全等三角形. 例题精讲 考点一：一线三等角直角模型 【例1】.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则△BCD的面积为　　cm2． 变式训练 【变式1-1】．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则△CDE的面积等于　　平方厘米． 【变式1-2】．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为 　 　． 【变式1-3】．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（　　） A．（，3），（﹣，4） B．（，3），（﹣，4） C．（，），（﹣，4） D．（，），（﹣，4） 【变式1-4】．如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为（　　） A． B． C． D． 考点二：一线三等角锐角或钝角模型 【例2】．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9， BD＝3，则CF等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式训练 【变式2-1】．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝3BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为12，则△ACF与△BDE的面积之和为　 　． 【变式2-2】．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO＝PD，那么AP的长是　 　． 【变式2-3】．如图1，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，F是CD上一点，已知∠AEF＝90°． （1）求证：＝； （2）平行四边形ABCD中，E是边BC上一点，F是边CD上一点，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．如图2，若∠AFE＝45°，求的值． 实战演练 1．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（　　） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若，则CE＝（　　） A． B． C． D． 3.如图，已知，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则的值是（ ） A． B. C． D. 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D、E、F分别为边AC、AB、CB上的点，且△DEF为等边三角形，若AD＝CD．则的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P是边AB上一点，BP＝，D是边BC上一点（点D不与端点重合），作∠PDQ＝60°，DQ交边AC于点Q．若CQ＝a，满足条件的点D有且只有一个，则a的值为（　　） A． B． C．2 D．3 6．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的面积，则只需知道（　　） A．△ABC的面积 B．△BFG的面积 C．四边形AFGH的周长 D．△BDE的面积 7．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（　　）