专题03 圆中的相似问题-2023年中考相似与圆、函数等结合的五大综合知识题型

专题03 圆中的相似问题 ( 知 识 回 放 ) 割线与切线形成的A字型相似 如图，PA为圆O的切线，PC为过圆心的直线， 则△PAB∽△PCA， ，可得： 割线与割线形成的A字型相似 如图，割线PD、PC交于点P， 则△PAB∽△PCD， ，可得： 弦与弦形成的8字型相似（蝴蝶） 如图，弦AC、BD交于点E， 则△ABE∽△DCE， ，可得： 圆中的双垂直（射影定理） 如图，BC为圆O的直径，AD⊥BC， 则△ABD∽△CAD∽△CBA， 可得：、、 ( 真 题 解 析 ) 典例1. （2022•辽宁朝阳中考真题）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B． (1)求证：AF是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）证明：∵AC是直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF， ∴∠DAF=∠ACD， ∴∠DAF+∠DAC=90°， ∴， ∵AC是直径， ∴AF是⊙O的切线； （2）解：作于点H， ∵⊙O的半径为5， ∴AC=10， ∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD， ∴△ADH～△ACD， ∴， ∴， ∵AD＝6， ∴， ∵AD是△AEF的中线，∠EAF=90°， ∴AD=ED， ． 典例2. （2022•湖南株洲中考真题）如图所示，三角形的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，连接、，已知． (1)求证：直线是⊙的切线； (2)若线段与线段相交于点，连接． ①求证：； ②若，求⊙的半径的长度． 【答案】(1)见解析；(2)①见解析；② 【解析】(1)证明：∵∠BAC=45°， ∴∠BOD=2∠BAC=90°， ∴OD⊥OB， ∵OD∥BC， ∴CB⊥OB， ∵OB为半径， ∴直线BC是⊙O的切线； (2)解：①∵∠BAC=45°， ∴∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD， ∴∠ODB=45°， ∴∠BAC=∠ODB， ∵∠ABD=∠DBE， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）． 即⊙O的半径的长为． 典例3. （2022•湖北黄石中考真题）如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的值； (3)在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值． 【答案】(1)见解析；(2) ；(3) 【解析】（1）解：如图所示，连接OA， ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵OA为半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， 由知，半径，则，， 在中，， 在中，， 即 （3）在（2）的条件下，， ∴， ∴， 在中，，， 解得，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 典例4. （2022•贵州遵义中考真题）探究与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据2） 点，，，四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． ①求证：，，，四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 (2)45°；(3)①见解析；②不发生变化，值为8 【解析】 （1）答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 （2）在线段同侧有两点，， 四点共圆， 故答案为： （3）①∵， ， 点与点关于对称， ， ， 四点共圆； ②，理由如下， 四点共圆， ， 关于对称， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 典例5. （2022•广西梧州中考真题）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作，且．连接AD，分别交于点E，F，与圆O交于点G，若． (1)求证：①； ②CD是圆O的切线． (2)求的值． 【答案】(1)①证明过程见