8.2.4三角恒等变换的应用-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）

8.2.4三角恒等变换的应用 题型1 半角公式的应用 2 题型2 积化和差公式的应用 3 题型3 和差化积公式的应用 4 题型4 凑角求值 5 ◆类型1给值求值型 6 ◆类型2给值求角型 6 题型5 恒等式证明 7 题型6 实际应用 8 知识点一.半角公式 sin ＝±， cos ＝±， tan ＝±＝＝. 知识点二.积化和差与和差化积公式 1． 积化和差： ①； ②； ③； ④； 2． 和差化积： ①； ②； ③； ④； 题型1 半角公式的应用 【方法总结】 （1） 当给出角α的范围（某一区间）时，可先确定角的范围，再确定各函数值的符号。 （2） 若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号。 （3）对于，，∈R，而对于，要注意α≠（2k＋1）π。 【例题1】（2022·高一课时练习）利用半角公式，求的值． 【变式1-1】1．(多选)（2022春·江苏镇江·高一统考期末）tan75°＝（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】2．（2022·高一课时练习）已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式1-1】3．（2022春·甘肃酒泉·高一校考期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】4．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期中）若，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式1-1】5．（2022·高一课时练习）若，是第二象限角，则（    ） A． B．3 C．5 D． 【变式1-1】6．（2022·高一课时练习）化简：___________. 题型2 积化和差公式的应用 【方法总结】积化和差公式的巧记口诀 余余相乘余和加， 正正相乘余减反， 正余相乘正相加， 余正相乘正相减。 注意前提是（）在前面，在后面。 【例题2-1】（2022·高一课时练习）利用积化和差公式，求下列各式的值： (1)； (2)． 【例题2-2】（2023·高一课时练习）化简：． 【变式2-2】（2023·高一课时练习）化为和差的结果是（    ） A． B． C． D． 【例题2-3】（2022·高一课时练习）已知，为锐角，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】1．（2022·高一课时练习）中，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】2．（2020·高一课时练习）函数，则的最小正周期和最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】3．（2023·高一课时练习）若，则（    ） A． B．m C． D． 题型3 和差化积公式的应用 【方法总结】和差化积公式的特点 ①同名函数的和或差才可化积。 ②余弦函数的和或差化为同名函数之积。 ③正弦函数的和或差化为异名函数之积。 ④等式左边为单角α和β，等式右边为与的形式。 ⑤只有余弦函数的差化成积式后的符号为负，其余均为正。 【例题3-1】（2022·高一课时练习）利用和差化积公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式3-1】1．（2022·高一课时练习）把下列各式化为积的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-1】2．（2021·高一课时练习）把下列各式化成积的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例题3-2】（2022·高一课时练习）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】1．（2021春·高一课时练习）若，则 __________. 【变式3-2】2．（多选）（2022·高一课时练习）（多选）下列等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】3．（2022春·上海虹口·高一华东师范大学第一附属中学校考期末）利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知，，则___________. 题型4 凑角求值 【方法总结】（1）解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． (2) 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等 (3) 凑角基本思路 ◆类型1给值求值型 【例题4-1】（2023秋·河北邯郸·高一统考期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】1．（2023秋·湖南湘潭·高一统考期末）已知，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】2．（2022春·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习）已知，则___________ 【变式4-1】3．（2022秋·上海宝山·高一校考期末）已知. (1)求：的