3阶 第2部分 专题6 综合与实践-【一战成名】2023中考复习优等生进阶训练 数学

优等生进阶训练·数学 三 阶 追 击 重 点 重 点 专 题 突 破 专题六　综合与实践 　　 　 　　　 　 　　　 　 　　类型 １ 实践操作型探究 １．（２０２２连云港）【问题情境】 在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图①所示的方式摆放．其 中∠ＡＣＢ＝∠ＤＥＢ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＢＥ＝ＡＣ＝３． 【问题探究】 小昕同学将三角板ＤＥＢ绕点Ｂ按顺时针方向旋转． （１）如图②，当点Ｅ落在边ＡＢ上时，延长ＤＥ交ＢＣ于点Ｆ，求ＢＦ的长． （２）若点Ｃ，Ｅ，Ｄ在同一条直线上，求点Ｄ到直线ＢＣ的距离． （３）连接ＤＣ，取ＤＣ的中点Ｇ，三角板ＤＥＢ由初始位置（图①），旋转到点Ｃ，Ｂ，Ｄ首次在同一条 直线上（如图③），求点Ｇ所经过的路径长． （４）如图④，Ｇ为ＤＣ的中点，则在旋转过程中，点Ｇ到直线ＡＢ的距离的最大值是　　　　． ① 　　 ② 　　 备用图 ③ 　　 ④ 第１题图 ７７１ 优等生进阶训练·数学 三 阶 追 击 重 点 重 点 专 题 突 破 ２．（２０２２江西）综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板ＰＥＦ（∠Ｐ＝ ９０°，∠Ｆ＝６０°）的一个顶点放在正方形中心Ｏ处，并绕点Ｏ逆时针旋转，探究直角三角板ＰＥＦ 与正方形ＡＢＣＤ重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为２）． 操作发现 （１）如图①，若将三角板的顶点Ｐ放在点Ｏ处，在旋转过程中，当ＯＦ与ＯＢ重合时，重叠部分 的面积为　　　　；当ＯＦ与ＢＣ垂直时，重叠部分的面积为　　　　；一般地，若正方形面积 为Ｓ，在旋转过程中，重叠部分的面积Ｓ１与Ｓ的关系为　　　　． 类比探究 （２）若将三角板的顶点Ｆ放在点Ｏ处，在旋转过程中，ＯＥ，ＯＰ分别与正方形的边相交于点Ｍ，Ｎ． ①如图②，当ＢＭ＝ＣＮ时，试判断重叠部分△ＯＭＮ的形状，并说明理由； ②如图③，当ＣＭ＝ＣＮ时，求重叠部分四边形ＯＭＣＮ的面积．（结果保留根号） 拓展应用 （３）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心 Ｏ处，该锐角记为∠ＧＯＨ（设∠ＧＯＨ＝α），将 ∠ＧＯＨ绕点Ｏ逆时针旋转，在旋转过程中，∠ＧＯＨ的两边与正方形 ＡＢＣＤ的边所围成的图形 的面积为Ｓ２，请直接写出Ｓ２的最小值与最大值．（分别用含α的式子表示） （参考数据：ｓｉｎ１５°＝槡 槡６－２４ ，ｃｏｓ１５°＝ 槡 槡６＋２ ４ ，ｔａｎ１５° 槡＝２－３） ① 　　 ② 　　 ③ 　　 备用图 第２题图 ８７１ 优等生进阶训练·数学 三 阶 追 击 重 点 重 点 专 题 突 破 类型 ２　综合与应用 ３．（２０２１陕西）问题提出 （１）如图①，在ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝４５°，ＡＢ＝８，ＡＤ＝６，Ｅ是ＡＤ的中点，点Ｆ在ＤＣ上，且ＤＦ＝５， 求四边形ＡＢＦＥ的面积．（结果保留根号） 问题解决 （２）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图②所示，现规划在河畔的一处滩地上规 划一个五边形河畔公园ＡＢＣＤＥ．按设计要求，要在五边形河畔公园ＡＢＣＤＥ内挖一个四边形人 工湖ＯＰＭＮ，使点Ｏ，Ｐ，Ｍ，Ｎ分别在边ＢＣ，ＣＤ，ＡＥ，ＡＢ上，且满足ＢＯ＝２ＡＮ＝２ＣＰ，ＡＭ＝ＯＣ．已 知五边形ＡＢＣＤＥ中，∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝８００ｍ，ＢＣ＝１２００ｍ，ＣＤ＝６００ｍ，ＡＥ＝９００ｍ． 为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符 合设计要求的面积最小的四边形人工湖ＯＰＭＮ？若存在，求四边形ＯＰＭＮ面积的最小值及这 时点Ｎ到点Ａ的距离；若不存在，请说明理由． ① ② 第３题图 ９７１ 优等生进阶训练·数学 三 阶 追 击 重 点 重 点 专 题 突 破 ４．（２０２２陕西）问题提出 （１）如图①，ＡＤ是等边三角形ＡＢＣ的中线，点Ｐ在ＡＤ的延长线上，且ＡＰ＝ＡＣ，则∠ＡＰＣ的度 数为　　　　． 问题探究 （２）如图②，在△ＡＢＣ中，ＣＡ＝ＣＢ＝６，∠Ｃ＝１２０°．过点Ａ作ＡＰ∥ＢＣ，且ＡＰ＝ＢＣ，过点Ｐ作直 线ｌ⊥ＢＣ，分别交ＡＢ，ＢＣ于点Ｏ，Ｅ，求四边形ＯＥＣＡ的面积． 问题解决 （３）如图③，现有一块△ＡＢＣ型板材，∠ＡＣＢ为钝角，∠ＢＡＣ＝４５°．工人师傅想用这块板材裁出 一个△ＡＢＰ型部件，并要求∠ＢＡＰ＝１５°，ＡＰ＝ＡＣ．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点Ｃ为圆心，以ＣＡ长为半径画弧，交ＡＢ于点Ｄ，连接ＣＤ； ②作ＣＤ的垂直平分线ｌ，与ＣＤ交于点Ｅ； ③以点Ａ为圆心，以ＡＣ长为半径画弧，交直线ｌ于点Ｐ，连接ＡＰ，ＢＰ，得△ＡＢＰ． 请问，若按上述作法，裁得的△ＡＢＰ型部件是否符合要求？请证明你的结论． ① 　　 ② 　　 ③ 第４题图 ０８１ 三 阶 ∴ＡＤ＝ＣＤ＝５，∴∠Ｃ＝∠ＤＡＣ， ∴ｔａｎＣ＝ｔａｎ∠ＤＡＣ＝ＨＮＡＨ＝