1阶 板块4 图形的变化-【一战成名】2023中考复习优等生进阶训练 数学

优等生进阶训练·数学 一 阶 基 础 巩 固 板块四　图形的变化 归纳一　矩形中的几种常见折叠模型 １．一次折叠 折叠方式 图示 结论 沿矩形对角线折叠 ①△ＢＣＤ≌△ＢＣ′Ｄ≌△ＤＡＢ； ②△ＡＢＥ≌△Ｃ′ＤＥ； ③ＢＤ垂直平分ＣＣ′； ④△ＢＥＤ为等腰三角形 折痕过一顶点，折叠后 一边落在对角线上 ①ＡＦ＝ＡＢ，ＥＦ⊥ＡＣ； ②△ＣＥＦ∽△ＣＡＢ； ③ＣＥ２＝ＥＦ２＋ＣＦ２； ④若点 Ｆ为 ＡＣ的中点，则 △ＡＢＥ≌ △ＡＦＥ ≌△ＣＦＥ 折痕过一顶点，折叠后 一顶点落在对边上 ①ＢＣ′＝ＢＣ； ②ＡＣ′２＝ＢＣ２－ＡＢ２； ③△ＡＢＣ′∽△ＤＣ′Ｅ 折痕不过顶点，折叠后 一对相对顶点重合 ①连接 ＦＣ，四边形 ＡＥＣＦ为菱形，Ｄ′，Ｆ，Ｃ三点 共线； ②点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｄ′在同一个圆上； ③△ＡＤ′Ｆ≌△ＣＤＦ≌△ＡＢＥ； ④连接ＡＣ，ＤＤ′，ＡＣ∥ＤＤ′； ⑤ＡＢ２＋ＢＥ２＝ＡＥ２＝ＥＣ２ ２．两次折叠 类型 折叠方式 图示 结论 折叠后 展开再 折叠 先上下对折， 再将一顶点折 叠到折痕上 ①△ＡＢＧ为等边三角形； ②∠ＣＢＧ＝∠ＨＡＧ＝∠ＨＧＡ＝３０°； ③ＧＨＡＢ＝ 槡３ ３ 先折成一个正 方形，再折叠 使一边与折痕 重合 ①△ＡＧＦ，△ＡＢＥ，△ＡＢ′Ｅ均为等腰 直角三角形； ②ＡＦ＝槡２ＢＦ，ＢＥ＝（１＋槡２）ＢＦ ２３ 优等生进阶训练·数学 一 阶 基 础 巩 固 续表 类型 折叠方式 图示 结论 同时 折叠 相邻两顶点折 叠后重合 ①Ａ，Ｆ，Ｅ三点共线； ②ＢＧ＝ＦＧ＝ＣＧ，即Ｇ为ＡＣ的中点； ③△ＡＢＧ∽△ＧＣＥ； ④∠ＡＧＥ＝９０°，ＡＧ２＋ＧＥ２＝ＡＥ２； ⑤ ＧＦ ⊥ ＡＥ，△ＡＦＧ ∽ △ＧＦＥ ∽△ＡＧＥ； 相对两顶点折 叠后邻边共线 ①∠ＥＡＦ＝４５°； ②延长 ＥＨ交 ＡＦ于点 Ｇ，过点 Ｇ作 ＡＢ的平行线，分别交 ＡＤ，ＢＣ于点 Ｍ，Ｎ，则四边形ＡＢＮＭ是正方形 上下折叠后对 边重合（折纸 条） ①四边形ＥＦＧＨ是平行四边形； ②若∠ＢＥＧ＝６０°，则四边形 ＥＦＧＨ 为菱形 归纳二　线段最值 １．“两点之间线段最短”求最值 类型一　两定点与定直线上一动点确定线段和最小 点的情况 问题 作法 图示 两 点 在 直 线 异侧 点 Ａ，Ｂ在直线 ｌ异 侧，在直线 ｌ上找一 点 Ｐ，使得 ＰＡ＋ＰＢ 的值最小 连接ＡＢ，与直线ｌ的交点即 为点Ｐ 两点在直线同 侧（将军饮马） 点 Ａ，Ｂ在直线 ｌ同 侧，在直线 ｌ上找一 点 Ｐ，使得 ＰＡ＋ＰＢ 的值最小 作点 Ｂ关于直线 ｌ的对称 点Ｂ′，连接ＡＢ′，与直线ｌ的 交点即为点Ｐ 动点到线段距 离为定长 点Ｐ是线段 ＡＢ上方 一动点且到 ＡＢ的距 离 ＰＤ为定值，确定 一点Ｐ，使得ＡＰ＋ＢＰ 的值最小 过点Ｐ作直线ｌ，满足直线ｌ ∥ＡＢ，过点Ｂ作直线 ｌ的对 称点 Ｂ′，连接 ＡＢ′交直线 ｌ 于点 Ｐ′，则此时 ＡＰ′＋ＢＰ′ 有最小值 ３３ 优等生进阶训练·数学 一 阶 基 础 巩 固 类型二　定点与两动点求周长最小值 点的情况 问题 作法 图示 一 定 点 在 角 内，两动点在 角的两边上 在直线 ｌ１和 ｌ２上分 别求点 Ｍ，Ｎ，使得 △ＰＭＮ的周长最小 分别作点 Ｐ关于直线 ｌ１，ｌ２ 的对称点 Ｐ′，Ｐ″，连接Ｐ′Ｐ″， 与两直线的交点即为点 Ｍ，Ｎ 两 定 点 在 角 内，两动点在 角的两边上 在直线 ｌ１和 ｌ２上分 别求点 Ｍ，Ｎ，使得四 边形 ＰＱＮＭ的周长 最小 过点 Ｐ，Ｑ分别作关于直线 ｌ１，ｌ２的对称点 Ｐ′，Ｑ′，连接 Ｐ′Ｑ′与两直线的交点即为 点Ｍ，Ｎ 两两相交的三 条直线上的三 动点 在直线 ｌ１，ｌ２和 ｌ３上 分别求点 Ｐ，Ｍ，Ｎ，使 得 △ＰＭＮ 的 周 长 最小 将点Ｐ看作定点，分别作点 Ｐ关于两条直线 ｌ２，ｌ３的对 称点Ｐ′，Ｐ″，连接Ｐ′Ｐ″，与两 直线的交点即为点Ｍ，Ｎ 类型三　“造桥选址”与“将军溜马” 点的情况 问题 作法 图示 两定点在 河的两侧 （造 桥 选 址） Ａ，Ｂ分别在河岸ｌ１，ｌ２两 侧，现需要在河上建造 一座桥 ＭＮ（点 Ｍ，Ｎ分 别在ｌ１，ｌ２上），且ＭＮ垂 直于河两岸，使得从 Ａ 到Ｂ的路径 ＡＭ＋ＭＮ＋ ＮＢ最小，已知河宽为ｂ 将点Ａ沿垂直于河岸 ｌ１ 的方向平移到 Ａ′，使得 ＡＡ′＝ＭＮ，连接 Ａ′Ｂ，交 ｌ２于点Ｎ，过点 Ｎ作 ＮＭ ⊥ｌ１于点 Ｍ，则此时 ＡＭ ＋ＭＮ＋ＮＢ有最小值， 即ＡＡ′＋Ａ′Ｂ 两定点在 定直线同 侧，在 定 直线上找 定长 （将 军溜马） 点Ａ，Ｂ在直线ｌ同侧，在 直线 ｌ上确定 ＰＰ′＝ａ， 使得 ＡＰ＋ＰＰ′＋Ｐ′Ｂ的 值最小 作点 Ｂ关于直线 ｌ的对 称点 Ｂ′，将点 Ａ向右平 移 ａ的长度至点 Ａ′，连 接 Ａ′Ｂ′交直线