1阶 板块3 图形的性质-【一战成名】2023中考复习优等生进阶训练 数学

优等生进阶训练·数学 一 阶 基 础 巩 固 板块三　图形的性质 归纳一　与三角形角平分线有关的角度关系 类型 两内角平分线 一内角、一外角平分线 两外角平分线 条件 在△ＡＢＣ中，ＢＰ，ＣＰ分别平分 ∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ 点 Ｄ在 ＢＣ的延长线上，ＢＰ， ＣＰ分别平分∠ＡＢＣ，∠ＡＣＤ 点Ｄ，Ｅ分别在 ＡＢ，ＡＣ的延长线 上，ＢＰ，ＣＰ分别平分 ∠ＤＢＣ， ∠ＥＣＢ　 图形 ∠Ｐ与∠Ａ 的关系 ∠Ｐ＝９０°＋１２∠Ａ ∠Ｐ＝ １ ２∠Ａ ∠Ｐ＝９０°－ １ ２∠Ａ 归纳二　等腰三角形中的分类讨论 １．角度问题 已知等腰三角形的一个内角为α，求另外两个内角． α取值范围 角度分析 另两个内角 α≥９０° α必是顶角 都是底角，度数为１２（１８０°－α） ０°＜α＜９０° α是顶角 都是底角，度数为１２（１８０°－α） α是底角 另一个底角为α，顶角为１８０°－２α ２．周长问题 已知等腰三角形两边长为ａ，ｂ（ａ＜ｂ），求周长． ａ和ｂ的关系 三边分析 周长 ２ａ≤ｂ ａ必是底边长 ２ｂ＋ａ ａ＜ｂ＜２ａ ａ是底边长，ｂ是腰长 ２ｂ＋ａ ａ是腰长，ｂ是底边长 ２ａ＋ｂ ３．等腰三角形的存在性问题（两圆一中垂） 以线段ＡＢ为一边构造等腰三角形ＡＢＣ． 顶角 点Ｃ位置 图示 ∠Ａ 点Ｃ在以点 Ａ为圆心，ＡＢ长为半径的圆上，如 点Ｃ１ ∠Ｂ 点 Ｃ在以点 Ｂ为圆心，ＡＢ长为半径的圆上，如 点Ｃ２ ∠Ｃ 点Ｃ在线段ＡＢ的垂直平分线上，如点Ｃ３ ５１ 优等生进阶训练·数学 一 阶 基 础 巩 固 归纳三　利用“三线合一”巧解题 分类 作法 图示 结论 已知两腰和底 求面积 先作底边上的高，勾 股定理求高，再用面 积公式求解 ＡＤ＝ ＡＢ２－（１２ＢＣ）槡 ２； Ｓ＝１２ＢＣ·ＡＤ＝ １ ２ＢＣ· ＡＢ２－（１２ＢＣ）槡 ２　 腰上高与底夹 角和顶角关系 作底边上的高，同角 的余角相等得证 ∠ＣＢＤ＝１２∠ＢＡＣ 过角的边上一 点作该角平分 线的垂线 延长垂线得等腰 ＤＥ＝ＢＤ； ＡＥ＝ＡＢ 遇到线段垂直 平分线上一点 连这点与线段两端点 ＢＥ＝ＣＥ，ＡＥ＋ＢＥ＝ＡＣ； ∠ＥＢＣ＝∠ＥＣＢ 归纳四　遇到“等边三角形”常作的三类辅助线 构造 类型 一线三等角 一线三垂直 含３０°角的直角三角形 已知 等边三角形ＡＢＣ的顶点 Ａ在直线ｌ上 △ＡＢＣ是等边三角形且 在平面直角坐标系中 △ＡＢＣ是等边三角形 构图 方法 在 ｌ上找点 Ｄ，Ｅ，使得 ∠ＢＤＡ＝∠ＡＥＣ＝６０° 过点Ｃ作 ＣＤ⊥ＡＢ于点 Ｄ，过点Ｄ作ＥＦ∥ＯＡ，作 ＣＦ⊥ＥＦ于点Ｆ 过一顶点 Ａ作高 ＡＤ（或 中线、角平分线） 延长 ＢＣ到点 Ｄ，使得 ＣＤ＝ＢＣ，连接ＡＤ 图示 结论 △ＢＡＤ≌△ＡＣＥ △ＢＥＤ ∽ △ＢＯＡ ∽ △ＤＦＣ　 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝３０°； ＢＤ＝ＣＤ＝１２ＡＢ； ＡＤ＝槡３２ＡＢ ∠Ｄ＝３０°； ∠ＤＡＢ＝９０°； ＡＤ＝槡３ＡＢ ６１ 优等生进阶训练·数学 一 阶 基 础 巩 固 归纳五　直角三角形中的分类讨论 １．斜边不确定的直角三角形 已知直角三角形的两边，当直角边和斜边不确定时，一般分两种情况讨论：①两条已知边均为 直角边；②较长的一条边为斜边． ２．直角三角形的存在性问题（两线一圆） 以线段ＡＢ为一边构造直角三角形ＡＢＣ． 直角 点Ｃ位置 图示 ∠Ａ 点Ｃ在过点Ａ且垂直线段ＡＢ的直线上，如点Ｃ１ ∠Ｂ 点Ｃ在过点Ｂ且垂直线段ＡＢ的直线上，如点Ｃ２ ∠Ｃ 点Ｃ在以ＡＢ为直径的⊙Ｏ上，如点Ｃ３ 归纳六　角平分线的几种基本模型 构造模型 构造过程（ＯＰ是∠ＭＯＮ的平分线） 结论 作垂直 构全等 过点Ｐ分别作ＰＡ⊥ＯＭ，ＰＢ⊥ＯＮ 于Ａ，Ｂ → 两点 ＰＡ＝ＰＢ； Ｒｔ△ＯＰＡ≌Ｒｔ△ＯＰＢ 巧截取 构全等 在射线ＯＮ上截取ＯＢ＝ＯＡ 连接 → ＰＢ △ＯＰＡ≌△ＯＰＢ 有垂直延 长构等腰 延长ＡＰ，交ＯＮ于点 → Ｂ △ＡＯＢ为等腰三角形； ＰＡ＝ＰＢ 作平行 构等腰 过点Ｐ作ＰＡ∥ＯＮ 交ＯＭ于点 → Ａ △ＯＡＰ是等腰三角形 过点Ｍ作ＭＡ∥ＯＰ 交ＮＯ的延长线于点 → Ａ △ＯＡＭ是等腰三角形 ７１ 优等生进阶训练·数学 一 阶 基 础 巩 固 归纳七　中点的几种基本模型 构造模型 构造过程（Ｄ是ＢＣ的中点） 结论 倍长中线 构全等 延长ＡＤ到点Ｅ，使得ＥＤ＝ＡＤ 连接 → ＢＥ △ＡＤＣ≌△ＥＤＢ 延长ＦＤ到点Ｅ，使得ＤＥ＝ＦＤ 连接 → ＣＥ △ＢＤＦ≌△ＣＤＥ 作平行构 造中位线 过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ 或过点Ｄ作ＤＦ∥ → ＡＢ ＤＥ，ＤＦ都是△ＡＢＣ的 中位线 垂直过中点， 连接构等腰 连