1阶 板块1 数、式、方程（组）与不等式（组）-【一战成名】2023中考复习优等生进阶训练 数学

书 优等生进阶训练·数学 一 阶 基 础 巩 固 板块一　数、式、方程（组）与不等式（组） 归纳一　数轴的理解 １．实数与数轴 （１）实数与数轴上的点是一一对应的． （２）一般情况下，在数轴上，规定原点表示的数字为０，向右为正方向，则原点右边的点表示的 数是正数，原点左边的点表示的数是负数． （３）用数轴上的点表示无理数 原理：利用勾股定理画出斜边长为无理数的直角三角形． 图示：如图，Ｒｔ△ＯＡＢ的直角边ＯＡ＝ＡＢ＝１，斜边为ＯＢ．以点Ｏ为圆心、ＯＢ长为半径作 ) ＢＣ，与 数轴交于点Ｃ． ①点Ｃ表示的数为槡２； ②在Ｒｔ△ＯＣＤ中，直角边ＣＤ＝１，则点Ｅ表示的数为槡３； ③在数轴上表示－槡５的点是点Ｆ． ２．数轴上两点之间的距离 （１）数轴上表示相反数的两个点（０除外）在原点两侧，且到原点的距离相等． （２）数轴上两点之间的距离：用右边的点表示的数减去左边的点表示的数． 如图，若数轴上两点Ａ，Ｂ表示的数分别为ａ，ｂ，则线段ＡＢ的长度为｜ａ－ｂ｜，线段ＡＢ的中点Ｃ 表示的数为 ａ＋ｂ ２ ． 失分警示：若数轴上两点 Ａ，Ｂ分别表示实数 ａ，ｂ，当两个点的位置不确定时，需分类讨论；若 ＡＢ＝１，则ｂ＝ａ－１或ａ＋１． ３．数轴与实数的大小比较 （１）数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． （２）在数轴上，到原点距离越大的数，绝对值越大． 如图，数轴上Ａ，Ｂ表示的数分别为ａ，ｂ，则： ①ａ＜０＜ｂ，｜ａ｜＞｜ｂ｜；②－ａ＞ｂ，－ａ＞－ｂ，－ｂ＞ａ；③ａｂ＜０，ａ＋ｂ＜０，ａ－ｂ＜０，ｂ－ａ＞０． １ 优等生进阶训练·数学 一 阶 基 础 巩 固 归纳二　无理数估值 １．确定一个无理数在哪两个相邻整数之间（以槡７为例） 解题步骤 备注 ①先对无理数平方 （槡７） ２＝７ ②找出平方后与所得数字相邻的两个开得 尽方的整数 ４＜７＜９ ③对这两个整数开方 ２＜槡７＜３ ①熟记常见的平方数：１，４，９，１６，２５，３６，… ②若无理数为ｎ槡ａ形式，需先转化为 ａｎ槡 ２再 估值，不容易出错 ２．确定一个无理数与哪个整数最接近（以槡７为例） 解题步骤 图示理解法 ①确定无理数在哪两个相邻整数之间 ２＜槡７＜３ ②求这两个整数的平均数 １２×（２＋３）＝２．５ ③若平均数的平方小于该无理数的平方， 则该无理数更接近较大的那个整数 ∵２．５２＝６．２５，６．２５＜７， ∴槡７离３更近 ↓ 归纳三　因式分解在解题中的两种拓展方法 １．十字相乘法 特点：所要分解的整式的高次项（二次项）系数为１，中间项（一次项）系数可以写成两个数的 和，尾项（常数项）可以写为这两个数的积． 表示：ｘ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）． ２．分组分解法 整式的项数大于或等于３，观察某两项或三项之间是否可以利用提公因式、平方差公式或完全 平方公式先进行分解因式，再与剩余项分解因式． 如：ｘ２＋ｘｙ－ｙ－１＝（ｘ２－１）＋（ｘｙ－ｙ）＝（ｘ＋１）（ｘ－１）＋ｙ（ｘ－１）＝（ｘ－１）（ｘ＋ｙ＋１）． 归纳四　解含参不等式（组） １．若不等式ａｘ＞ａ的解集是ｘ＞１，则ａ＞０； ２．若不等式组 ｘ＞２， ｘ＞{ ａ的解集是ｘ＞３，则ａ＝３； 如图，若ａ在ａ１位置，∵２＜ａ１＜３，∴不等式组的解集为ｘ＞ａ１；若ａ在ａ２位置，∵３＜ａ２，∴不 等式组的解集为ｘ＞ａ２；当ａ＝３时，不等式组的解集为ｘ＞３． ３．若不等式组 ｘ＞２， ｘ＞{ ａ的解集是ｘ＞２，则ａ≤２； ４．若不等式组 ｘ＞２， ｘ＞{ ａ的解集是ｘ＞ａ，则ａ≥２； ２ 优等生进阶训练·数学 一 阶 基 础 巩 固 ５．若不等式组 ｘ＜２， ｘ＞{ ａ无解，则ａ≥２； 如图，若ａ在ａ１位置，∵ａ１＜２，∴不等式组的解集为ａ１＜ｘ＜２，不等式组有解；若ａ在ａ２位置，∵２ ＜ａ２，∴不等式组无解；当ａ＝２时，ｘ＞ａ＝２，不等式组仍无解，∴当ａ≥２时，不等式组无解． ６．若不等式组 ｘ＜２， ｘ＞{ ａ有两个整数解，则两个整数解为１，０，从而－１≤ａ＜０； 如图，若ａ＝０，∵ｘ＞ａ＝０，∴不等式组的解集为０＜ｘ＜２，其中整数解仅为１；若ａ＝－１，∵ｘ＞ａ ＝－１，∴不等式组的解集为－１＜ｘ＜２，其中整数解为１，０；若ａ＜－１，可得不等式组的整数解 至少有３个，为１，０，－１，∴当－１≤ａ＜０时，不等式组有两个整数解１，０． ７．若不等式组 ｘ＜２， ｘ＞{ ａ的解集中至少有两个整数解，则ａ＜０． 归纳五　方程（组）与不等式的实际应用常见类型 １．购买、分配问题 常用关系式：费用＝单位费用×数量 → 拓展 总量＝单位量×数量； 总费用＝甲的单位费用×甲的数量＋乙的单位费用×乙的数量； 总数量＝甲的数量＋乙的数量（或甲、乙之间的和、差、倍、分数量关系）． ２．利润、利润率问题 （１）售价＝标价（原价）×折