3.4　基本不等式教学设计——2022-2023学年高二上学期数学人教A版必修５

课题：基本不等式（第一课时） 1、 内容及内容解析 本节内容选自人教版必修五第三章《不等式》第四节《基本不等式》的第一课时，它是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用.基本不等式揭示了两个正数的算术平均数与几何平均数的大小关系，之所以称为“基本”是因为简单、基础，它是研究调和平均数和平方平均数的基础，是证明其它重要不等式的依据，是求最值的有力工具.本节课的主要内容是基本不等式的发现与证明及简单应用，而运用基本不等式求最值留到下一课时，本节课的教学重点是应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式. “基本不等式”在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用，在基本不等式发现与证明及简单应用的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合、化归与转化、运动变换，观察联想等思想意识；更有助于学生“大胆猜想，小心求证或完善”、“数学地、有条理地思考问题”等良好的思维品质和抽象、逻辑推理等数学核心素养的养成. 2、 学生学情分析 学生在此之前已经具备了不等式、三角形和四边形知识，掌握了不等式的基本性质和用比较法证明不等式. 同时，高一学生具备了一定的数学抽象，图形分析及数形结合能力，在交流上具备一定层次沟通能力. 这些都为学习本节内容奠定了基础. 但高一的学生解决问题能力有限，在解决问题过程中尚未掌握研究一般问题的整体思路，尚未养成在出现多种解法时挖掘其背后本质的习惯，如：比较与大小时，学生会直接作差比较，也没有先猜想后证明的意识，在这里注意问题引导，让学生明确并掌握解决问题的一般策略与思路，并强化了猜想与反驳一般的思维过程；同时本节课学生一方面要自主挖掘不等式的各种几何背景，另一方面要从多元联系的观点多角度理解基本不等式的内涵，学生构造图形，数形结合，逻辑推理能力不够高，思维也不够严谨，如：多角度学生容易联想面积角度，其它角度及证明较困难，教学中引导学生理性思考，让新旧知识交汇，并采用小组合作方式研究。 3． 目标及目标解析 1.学生能在具体的情境中发现问题，提出问题，经历数学抽象，观察发现、归纳猜想等过程，有助于学生观察素养及数学抽象核心素养的养成. 2.学生在多角度探索基本不等式及演绎替换的过程中，构建解决问题的基本思路方法，建立多元联系，学会一题多解，多解归一，感受基本不等式内涵，并感受数形结合、化归与转化，运动变换，观察联想等数学思想方法，有助于学生逻辑推理等核心素养的养成. 3.掌握基本不等式的结构特征，并能简单应用基本不等式，体会数学的应用价值，感受数学的完整性. 四、教学策略分析 本节课的难点是：①从不同的角度探索基本不等式的内涵②挖掘基本不等式的几何意义．突破难点的策略是：问题引导；小组合作等 本节课采用高中数学研究型教学模式，即学生在教师创设的12个问题中，以“基本不等式的发现与证明及简单应用”为基本研究内容，在教师提供的认知策略与研究支架指导下，通过独立研究或合作研究自主提出问题、自主解决问题、自主拓展问题，充分发挥学生的主观能动性，不是仅以掌握学习知识和建构知识为重点，而是构建研究数学问题的一般思路与方法，有助于学生数学思想的渗透、研究力的提升及抽象、逻辑推理等数学核心素养的养成. 五、教学过程设计 (一)呈现背景，提出问题 问题1：甲工厂第一年产值为，第二年产值为第一年的2倍，第三年产值为第二年的3倍；乙工厂第一年产值为，每年产值平均增长倍，将工厂第三年的产值作为评价工厂近两年效益的标准，如何评定？ [设计意图]创设实际问题情境，体验数学源于生活.通过特殊到一般发现提出一般性问题：比较(算术平均数)与(几何平均数)的大小？培养学生学习从实际问题中，发现问题，提出问题的能力，同时明确本节课研究的数学对象，提出课题：基本不等式. 设问1：将2，3，2.5改为1，4，2.5呢？ 设问2：你能将上述问题进行进一步的抽象吗？ 结论：进一步抽象为，，，从而比较与的大小 (2) 联想激活，寻求方法 问题2：按照以往的经验,你会有不同的思路与方法比较与的大小吗? [设计意图] 数学是理性的，解决数学问题应提倡“三思而后行” 而不是“摸着石头过河”；此环节教师引导学生回顾比较大小的经验，让学生寻求解决一类问题的基本思路与方法。这是“以知识为载体，让学生掌握研究问题的一般思路与方法，进而学会研究、学会创造”理念的具体化和操作化 预设结论：（1）作差（作商）比较；（2）先平方再作差；（3）由特殊到一般（4）先猜想后证明 （三）猜想证明，得出结论 问题3:你的猜想结论是什么？ [设计意图]引导学生用分类思想完善猜想 问题4:请用不同的方法证明？请动手操作? [设计意图]引导学生完整地经