卷15 圆锥曲线与立体几何动点轨迹-【小题小卷】冲刺2023年高考数学小题限时集训（全国通用）

卷15 圆锥曲线与立体几何动点轨迹 难度：★★★★☆ 建议用时： 30分钟 正确率 ： /30 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：（    ） ①矩形  ②圆  ③椭圆  ④部分抛物线  ⑤部分椭圆 A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④ 【答案】C 【解析】当圆柱桶竖直放置时，截口曲线为圆； 当圆柱桶水平放置时，截口曲线为矩形； 当圆柱桶倾斜放置时，若液面经过底面，则截口曲线为椭圆的一部分； 当圆柱桶倾斜放置时，若液面不经过底面，则截口曲线为椭圆； 故选：C 2．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体，P为平面内一动点，设二面角的大小为，直线与平面所成角的大小为.若，则点P的轨迹是（    ） A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】D 【解析】连接AC交BD于O，取中点,连接 以O为原点,分别以OA、OB、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图： 令正方体边长为2，则， 面的一个法向量为， 面的一个法向量为 则，故二面角的大小为 又二面角的大小，则或 由，，可得 又 整理得 即，是双曲线. 故选：D 3．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体中，M为BC边的中点，点P在底面和侧面上运动并且使，那么点P的轨迹是（    ） A．两段圆弧 B．两段椭圆弧 C．两段双曲线弧 D．两段抛物线弧 【答案】C 【解析】由P点的轨迹实际是一个正圆锥面和两个平面的交线， 其中这个正圆锥面的中心轴即为，顶点为A，顶角的一半即为， 以A点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，可得， ， 设与底面所成的角为， 则，所以， 所以该正圆锥面和底面的交线是双曲线弧， 同理可知，P点在平面的交线是双曲线弧， 故选：C． 4．（2023·高三课时练习）在正四面体中，点为所在平面上的动点，若与所成角为定值， 则动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【解析】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与所成角为定值，所以面与圆锥的相交轨迹即为点的轨迹.根据题意，不可能垂直于平面即轨迹不可能为圆. 面不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算与平面所成角为，即时，轨迹为抛物线，时，轨迹为椭圆， ，所以轨迹为椭圆. 故选：B. 5．（2022秋·江西宜春·高二校联考阶段练习）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且．若点分别为棱的中点，则下列说法错误的是（    ） A．平面 B．直线和直线所成的角为 C．过点的平面与四棱锥表面交线的周长为 D．当点在平面内，且时，点的轨迹为一个椭圆 【答案】D 【解析】由题意可知因为平面，平面， 所以， 又底面是边长为2的正方形，所以，即两两垂直， 以为原点，为轴，轴，轴建立如图所示坐标系， 所以由题意, 所以， 设平面的法向量，所以，解得， 因为，所以平面，A正确； 因为， 所以， 又因为，所以直线和直线所成的角为，B正确； 延长与交于点，延长与交于点，连接与交于点，连接与交于点，连接， 则过点的平面与四棱锥的截面为， 取的中点为，则， 又，所以，所以， 所以为中点，即为靠近的四等分点，同理为靠近的四等分点， 所以， 则, 则截面周长为，C正确； 因为，所以点到平面的距离， 又因为，所以点到平面的距离， 设与平面交于，由A得因为平面，所以, 所以， 即为定值，所以的轨迹为圆，D错误； 故选：D 6．（2022秋·河南·高三期末）棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界），则下面结论正确的有（    ） ①若点满足，则动点的轨迹是线段； ②若点满足，则动点的轨迹是椭圆的一部分； ③在线段上存在点，使直线与．所成的角为； ④当在棱上移动时，的最小值是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】连接 所以， 又正方体中，平面， 因为平面， 所以， 又平面， 所以平面， 所以只要在线段上，就有， 所以动点的轨迹是线段；故①正确； 若， 则在以为轴，母线所在直线为的圆锥曲线的侧面上， 平面与圆锥的轴斜交，截圆锥的侧面所得的截线是椭圆，故②正确； 因为 所以与所成的角等于与所成的角， 当为中点时， 此时最小， 在中， 所以不可能为.故③错误； 如图，将平面旋转到与平面重合， 连接交于， 此时的最小值为故④错误； 故选：B. 7．（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面