第三板块 立体几何（讲义）-【创新方案】2023高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

第三板块立体几何 明明白白知高考 1.从近三年新高考数学试题的考查情况来看，立体几何的题目难度和题量相对稳定，一般以“2小1大”的情况出现，占 22分，难度基本是中等，“2小”中的“1小”有时会结合其他知识以压轴小题的形式出现. 2.立体几何在高考选择题或填空题的常考点 (1)空间几何体的表面积、体积的计算，有时和数学文化、新情境交汇命题，特别要注意的是球的组合体问题，常作为 小题的压轴题出现，难度较大. (2)空间点、线、面之间的位置关系的判定，或空间角的计算，若出现在压轴小题的位置，则一般为立体几何动态问题 或翻折问题. 3.立体几何在高考解答题常以棱柱或棱锥为载体，一般设置两问，“一证一算”，一问是定性分析，一问是定量分析.其中定 性分析以线面平行、垂直的证明为主；而定量分析主要是应用空间向量求线面角、二面角， 融会贯通串知识 一、主干知识·以点带面 (二)空间向量与空间角、距离 (一)空间几何体的表面积与体积及线面位置关系 主干 知识点 主干 知识点 1.设直线1，m的方向向量分别为a=(a1,b,, (1)柱体的表面积和体积： (3)锥体的表面 c1),b=(a2,b2,c2),平面a,3的法向量分别为 S圆挂侧=2元rl, 积和体积： μ=(a3,ba,c3）,v=(a4,b4,c1). S表面积=S侧十2S底， S侧锥制=πrl, 四种几 V=Sh. S表面积=Sg十S底， (1)线线夹角：设，m的夹角为0(0≤<变）， 何体的 表面积、 (2)台体的表面积和体积： v-3Sch 则cos0=a·b1 a1a2+b,b2+c1c2| 体积 S圆台侧=π(r上十r下)l, (4)球的表面积 1ab√a++G√a+6+c 公式 S表面积=S侧十S上十S下， 和体积： (2)线面夹角：设直线1与平面α的夹角为 V= (5+S+ S表面积=4πR2, 空间 0<哥则sn0=osan8片 √SS下)h. V-4 R 向量 (3)面面夹角：设平面a,3的夹角为00≤0≤ (1)基本事实1：过不在同一条直线上的三 与空 点，有且只有一个平面： 间角 4· (2)基本事实2：如果一条直线上的两点在 距离 受），则cos0=cosu,1= allv 四个基 一个平面内，那么这条直线在此平面内： 2.平面外一点P到平面a 的距离如右图，已知平面 本事实 (3)基本事实3：如果两个不重合的平面有 个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公 a的法向量为n,A是平面 共直线； a内的定点，P是平面a外 (4)基本事实4：平行于同一条直线的两条 一点，过点P作平面a的 直线互相平行 垂线l,交平面a于点Q,则n是直线l的方向 (1)线面平行的判定定理：a史a,bC&,且a∥ 向量，且点P到平面Q的距离PQ b→a∥a; (2)线面平行的性质定理：a∥a,aCB,a∩B AP· AP·n |Ap·n n n n =b→a∥b: (3)面面平行的判定定理：aCB,b3,a∩b =P,a∥a,b∥a→B∥a; 二、常用结论·记清用活 八个 (4)面面平行的性质定理：a∥B,a∩y=a, 1.直观图 定理 B∩y=b→a∥b; (5)线面垂直的判定定理：l⊥a,l⊥b,a∩b 斜二测画法直观图面积为原图形面积的？倍。 =O,aCa,bCa→l⊥a; 2.空间几何体的表面积与体积 (6)线面垂直的性质定理：a⊥&，b⊥a→a∥b: (1)长方体、正方体的体对角线等于其外接球的直径； (7)面面垂直的判定定理：La,lCg→aLβ： (8)面面垂直的性质定理：a⊥B,a∩B=a, (2)n面体的表面积为S,体积为V,则内切球的半 l⊥a,lCB→l⊥a 径， S: 36）铺 第三板块立体几何 (3)直三棱柱的外接球半径：R=P+(),其 三、易错易误·注意防范 1.直观图易错点 中r为底面三角形的外接圆半径，L为侧棱长，如 对斜二测画法规则掌握不牢. 果直三校柱有内切球，则内切球半径：R一台 2.点、线、面的位置关系易错点 3.正四面体的常用结论 (1)空间点、线、面位置关系不清； 假设正四面体的边长为a,则有 (2)平行关系定理使用不当： (1)h=6 3a,S表面租=3a2,V体积二2a3: (3)垂直关系定理使用不当. 1 (2)相邻两个面的二面角：cosa=3； 3.利用空间向量求线面角几种常见错误 (3)三条侧棱与底面的夹角：os少 (1)误以为直线的方向向量与平面的法向量所成 角就是线面角； (4)外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应 (2)误以为直线的方向向量与平面的法向量所成 的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的距离 角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值； 为外接球的半径R=5。 a,球心到底面的距离为内 (3)不清楚线面