第六板块 函数与导数（讲义）-【创新方案】2023高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材WS）

第六板块函数与导数 明明白白知高考 函数与导数是高中数学的基础和主线内容，高考对这部分的考查选择题、填空题、解答题均有涉及，难度有大有小 从考查内容上看，小题主要涉及函数的图象，指数式、对数式的比较大小，函数的性质及零点问题，导数的几何意 义，构造函数解不等式等.解答题均是作为压轴题出现的，难度较大，具有很好的区分度， 导数题强调“用”，“用”就是导数的应用，即用导数来研究函数的单调性与极值.考查内容主要包括：导数与函数的 单调性、极值，利用导数解决不等式问题，利用导数研究函数的零点问题等.考查的函数一般是多项式函数、指数函数、 对数函数、三角函数这几种函数的组合 融会贯通串知识 一、主干知识·以点带面 (二)导数 (一)函数的概念与性质 导数函数f(x)在点x。处的导数是曲线f(x)在点 主干 知识点 的几P(x。,f(xo)处的切线的斜率，因此曲线f(x) (1)函数的定义 何意在点P处的切线的斜率k=f(x。),相应的切线 每 (2)函数的图象：对于函数的图象要会作图、识图 义 方程为y-f(x)=f(x)(x-x) 图 和用图. (1)利用导数研究函数的单调性 (3)函数图象的对称性及变换 ①若求单调区间（或证明单调性），只要在函数定义 域内解（或证明）不等式f(x)>0或f(x)<0: (1)单调性：复合函数的单调性遵循“同增异减” ②若已知函数的单调性，则转化为不等式∫(x)≥0 的原则. 或f(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解. (2)奇偶性：奇函数在关于原点对称的单调区间 (2)利用导数研究函数的极值、最值 内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单 本 ①若在x附近左侧f(x)>0,右侧f(x)<0,则 调区间内有相反的单调性， 分 f(x)为函数f(x)的极大值；若在附近左侧f(x) 质 (3)周期性：若y=fx)对x∈R,f(x十a)=f(x <0,右侧f(x)>0,则f(x)为函数f(x)的极小值； a)或f(x+2a)=f(x)(a>0)恒成立，则y=f(.x)是 ②设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可 周期为2a的周期函数 导，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在 极值点或端点处取得 (1)am·a”=am+";(2)(am)”=am; (1)利用导数研究函数的零点，可以通过函数的 (3)log (MN)=log M+log N; 单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势， M (4)log.N-log,M-log.N; 数形结合求解. 运算 (2)利用导数证明不等式 (5)log,M"nlog M;(6)alOE.NN; 若证明f(.x)<g(x),x∈(a,b),可以构造函数 式 (7)log,N log,N F(x)=f(.x)一g(x),如果能证明F(.x)在(a,b)上的 logia 最大值小于0，即可证明f(x)<g(x),x∈(a,b. (a,b>0且a,b≠1，M>0,N>0) (3)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性” 综 问题 (1)指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对数函数 盒 ①f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立台[f(x) y=logx(a>0,且a≠1)的图象和性质，分0<a g(.x]mm>0(.x∈I)； 三种 <1,a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义 ②3x∈I,使f(x)>g(x)成立台[f(x) 基本 域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义 g(.x)]mx>0(x∈I); 初等域内都为减函数。 ③对Hx1x2∈I使得f(x1)≤g(x2)台f(x)m 函数 ≤g(x）mn; (2)幂函数y=x,a∈{-1，号1,2,3的图象和 ④对Hx1∈I,3x2∈I使得f(x1)≥g(x2)台 性质与α的具体数值有关 f(x)min≥g(x)mm 90铺 第六板块函数与导数 (3)若函数y=f(x)满足f(a十x)=f(b一x),则y 二、常用结论·记清用活 1.函数的周期性 =f(r)的图象关于直线x=a十中对称. 2 (1)若函数f(x)满足f(x十a)=f(x一a),则三、易错易误·注意防范 f(.x)是周期函数，其中一个周期是T=2a(a≠0)； ;1.忽略函数的定义域 (2)若满足f(x十a)=一f(x),则f(x)是周期函 (1)判断函数的单调性时，要函数的定义域优先； 数，其中一个周期是T=2a(a≠0)； (2)判断函数的奇偶性时，忽略函数的定义域会导 1 (3)若满足f(x+a)=f,则f(x)是周期函数， 致结论错误； (3)求复合函数单调区间时，忽略定义域而致误； 其中一个周期是T=2a(a≠0)； (4)研究函数的导数时，忽略定义域而致误。 (④)若函数满足了(x十a)=一则fx)是周期2.