专题01 圆锥曲线与重心问题-2023年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

专题01 圆锥曲线与重心问题 【命题趋势】 从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重考查知识本身又注重考查学生综能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值、离心率等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考。 【知识储备】 三角形的重心：三角形三条中线的交点。 （1）G是的重心；重心坐标； （2）G为的重心，P为平面上任意点，则； （3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1； （4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比； 【经典例题】 1．（2022·四川成都·高三石室中学校考期中）已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线经过该抛物线的焦点，则线段的长为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4. 【答案】B 【分析】判断直线的斜率存在，设出直线方程，联立抛物线方程可得根与系数的关系式，利用三角形的重心即可求得参数k的值，根据抛物线的弦长公式即可求得答案. 【详解】设抛物线的焦点为F，则. 根据题意可知，点为的重心，若直线的斜率不存在， 则不妨取,则结合重心可得C为，不合题意； 故直线的斜率存在，设直线的方程为，， ，，，则有，，， 联立方程得，， 则，，因为点为的重心，所以， 即，所以， 即，解得， 则，故线段AB的长为6，故选：B. 【点睛】方法点睛：求解此类直线和圆锥曲线相交时的弦长问题，一般方法是设直线方程，联立圆锥曲线方程，利用根与系数的关系去化简求值；解答本题时要注意利用三角形重心的坐标公式并结合抛物线的性质，以及利用抛物线定义表示出弦长可使得计算简便. 2．（2022·河南·校联考模拟预测）已知F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上的三点，O为坐标原点，，，面积分别为 ，若F为的重心，且，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设、、三点的坐标分别为，，，，，，结合抛物线方程可得，再由三角形重心坐标公式，得到，进而根据求得p的值,可得答案. 【详解】设、、三点的坐标分别为，，，，，， 抛物线的焦点的坐标为, ，， ， 、、在抛物线上，，，， 由此可得：， 点是的重心，，可得, 因此，,解得 （负值舍去）， 故该抛物线的方程为，故选：． 3．（2022·安徽·高三校联考期末）设抛物线的焦点为，点 在抛物线上，为的重心，且，直线过点与抛物线交于两点，为坐标原点，则___________． 【答案】 【分析】设出点的坐标，根据 和为的重心，求得抛物线方程，设直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量的数量积运算化简得结果. 【详解】由抛物线方程知，设， 则， 因为为的重心，所以，则， 所以，所以抛物线方程为. 当直线斜率不存在时，直线， 不妨取，此时为； 当直线斜率存在时，设直线，， 联立，消去得，所以，， ，综上．故答案为： 4．（2023·山东高三模拟）（多选题）椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），的重心是，的角平分线交x轴于点（m，0），下列说法正确的有（     ） A．G的轨迹是椭圆的一部分 B．的长度范围是 C．取值范围是 D． 【答案】ACD 【分析】利用相关点法可明确G的轨迹，利用G的轨迹可知的长度范围，利用内角平分线定理与椭圆定义可得取值范围，利用内角平分线定理与焦半径公式可得. 【详解】设重心，又， ∴ ，即，又是椭圆上一点， ∴，即，故A正确； ∵G的轨迹是椭圆的一部分，长半轴长为，短半轴长为，∴，故B错误； 根据内角平分线定理可知，，又，∴，故C正确； 同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由可知，， ∴，故D正确. 故选：ACD. 5．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）设椭圆的左焦点为，下顶点为，若存在直线与椭圆交于两点，且的重心为，则直线斜率的取值范围为___________. 【答案】 【分析】设的中点为，由的重心为，可得，从而可求得点的坐标，再利用点差法结合点在椭圆内，即可得出答案. 【详解】设的中点为，， 因为的重心为，所以， 即，所以，即，则， 又在椭圆上，则有，两式相减得， 所以，即， 因为点在椭圆内，所以，所以，即， ， 当时，，当时，，所以，所以， 即直线斜率的取值范围为.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于对三角形重心的理解，即中线的交点，由此求出中点坐标，再运用点差法结合中点在椭圆内计算即可. 6．（2022·广东阳江·高三统考期中）阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆上任意