专题02 圆锥曲线与内心问题-2023年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

专题02 圆锥曲线与内心问题 【命题趋势】 从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考． 【知识储备】 三角形的内心：三角形三条角平分线的交点。 重要结论：I是的内心 (其中a、b、c为的三条边)； 三角形内切圆的半径求法： （1）任意三角形：（其中为三角形ABC 的周长，为三角形ABC 的面积）； （2）直角三角形：（其中a，b为直角边，c为斜边） 【经典例题】 1．（2023·湖南·高三模拟预测）（多选题）已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（    ） A． B．椭圆的离心率是 C．的最小值为 D．的值为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用椭圆与抛物线的对称性得到，从而将代入抛物线方程得到，进而得以判断；对于B，将代入椭圆的方程得到，由此得以判断；对于C，利用椭圆的定义与基本不等式“1”的妙用即可判断；对于D，利用三角形内心的性质与三角形角平分线的性质，结合比例的性质即可判断. 【详解】对于A，因为椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，则，，，， 因为抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点， 所以由椭圆与抛物线的对称性可得，两点关于轴对称，不妨设，，， 因为四边形是菱形，所以的中点是的中点， 所以由中点坐标公式得，则， 将代入抛物线方程得，， 所以，则，所以，故A正确； 对于B，由选项A得，再代入椭圆方程得， 化简得，则，故，所以，故B错误； 对于C，由选项B得，所以，则， 所以，不妨设，则，且， 所以， 当且仅当且，即，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，连接和，如图，因为的内心为，所以为的平分线，则有， 同理：，所以，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用椭圆与抛物线的对称性，可设的坐标，再由菱形的性质与中点坐标公式推得，从而求得的值，由此得解. 2．（2022·重庆·高三专题练习）已知A、B是抛物线的两点，为坐标原点，若且的内心恰是此抛物线的焦点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知A、B两点关于轴对称，若令点A在轴上方，坐标为（），则，由于的内心恰是此抛物线的焦点，所以由三角形角平分线的性质得,即,从而可求得答案 【详解】因为A、B是抛物线的两点，为坐标原点， ， 所以A、B两点关于轴对称， 设点A在轴上方，坐标为（），则，所以, 设交轴于点,则,因为,所以, 因为的内心恰是此抛物线的焦点，所以平分， 所以由三角形角平分线的性质得,即， 化简得, ,解得, 因为,所以,所以直线的方程为故选：C. 3．（2023·河南商丘·高三联考）已知分别为双曲线的左､右焦点，双曲线的半焦距为，且满足，点为双曲线右支上一点，为的内心，若成立表示面积），则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可求出双曲线的离心率，设内切圆半径为，则由可得，而，则，从而可求出的值. 【详解】因为，所以，所以，解得， 因为，所以，设内切圆半径为， 因为为的内心，成立表示面积）， 所以，所以， 因为点为双曲线右支上一点，所以，所以， 所以，所以，故选：C 4．（2022秋·湖北·高三校联考）已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点. 过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点A在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设上的切点分别为，利用双曲线定义及内心性质可得，同理可得，设直线的倾斜角为，由均在双曲线右支结合渐近线斜率可得，则通过化简讨论范围即可. 【详解】由题意，，， 设上的切点分别为，则， 由得， ∴，即J与E重合，又x轴，故，同理可得. 设直线的倾斜角为，∵均在双曲线右支，则或， 即或，则，∵， 则， 当时，；当，. 综上， 的取值范围是.故选：B 5．（2022·天津·高三专题练习）已知双曲线，其左右焦点分别为，，点P是双曲线右支上的一点，点I为的内心（内切圆的圆心），，若，，则的内切圆的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题给条件列出关于的内切圆半径的方程，即可求得的内切圆半径. 【详解】由结