考点03 分式与二次根式-备战2023年中考数学必考知识梳理与题型归纳突破（全国通用）

考点03 分式与二次根式 分式与二次根式是历年中考的考察重点，年年考查，分值为12分左右。预计2023年各地中考还将继续重视对分式与根式的有关概念、分式与根式的性质和分式与根式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。 1、分式 1）分式的定义 （1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式． （2）分式中，A叫做分子，B叫做分母． 【注】①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义；③若A=0且B≠0，则=0． 2）分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为或，其中A，B，C均为整式． 3）约分及约分法则 （1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． （2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分． 4）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 5）通分及通分法则 （1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分． （2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式； ③若分母是多项式，则先分解因式，再通分． 6）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 7）分式的运算 （1）分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示：． ②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：． （2）分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示：． （3）分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示：． （4）分式的乘方 乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示：为正整数，． （5）分式的混合运算 含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算． 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 2、二次根式 1）二次根式的有关概念 （1）二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 【注】被开方数只能是非负数．即要使二次根式有意义，则a≥0． （2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． （3）同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 2）二次根式的性质 （1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）； 3）二次根式的运算 （1）二次根式的加减 合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． （2）二次根式的乘除 乘法法则：；除法法则：． （3）二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的． 在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用． 考向1分式的有关概念 1．分式的三要素：（1）形如的式子；（2）均为整式；（3）分母中含有字母． 2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即． （2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0． 1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】分母中含有字母的是，，，∴分式有3个，故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 2．（2022·浙江湖州·中考真题）当a＝1时，分式的值是______． 【答案】2 【分析】直接把a的值代入计算即可． 【详解】解：当a=1时，．故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可． 3．（