第三章 命题点14 二次函数图象与性质的应用(必考)（精讲册）-【厚积薄发】2023河北中考数学中考源动力中考总复习

命题点14二次函数图象与性质的应用（必考） 厚积薄发·突破基础知识 【2022版课标要求】 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 基础知识梳理 1.二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系 b2-4ac的情况 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a>0 抛物线y=ax2+bx 0 0 +c与x轴的交点 a<0 一元二次方程ax2+bx+c=0根 有两个不相等 有两个相等的 没有实数根 的情况 的实数根 实数根 一元二次方程ax2+bx+c=0的根是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标 2.二次函数y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=t的关系 方程ax2+bx+c=t(判别式为△=b2-4a(c-t))的根可看作抛物线y=ax2+bx+c和直线 y=t交点的横坐标.如下表，以a>0为例： 如湖物线①，当1<如n时4<0，没有实数根 如地物线2，当1=加。时，4=0，有两个相等的实致根 如抛物线③，当1>加。时4>0，有两个不相等的实袋根 3.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=mx+n图象的交点个数问题 联立=a+bx+c, 消去y,得到关于x的方程ax2+(b-m)x+c-n=0(判别式为A= ly =mx +n, (b-m)2-4a(c-n).如下表，以a>0为例： 如抛物线①，当△<0时，没有交点 Ψ=fnx+ 如抛物线②，当△=0时，有唯一交点 如抛物线③，当△>0时，有两个交点 71 4．二次函数y=ax^2+bx+c与不等式ax+bx+c>t或ax^2+bx+c<t的关系 （1)将不等式ax^2+bx+c>t的两边分别看作二次函数y=ax^2+bx+c和一次函数y=t，则不 等式ax^2+bx+c>t的解集就是二次函数y=ax^2+bx+c的图象在直线y=t上方部分对应 的自变量x的取值范围； （2)将不等式ax^2+bx+e<t的两边分别看作二次函数y=ax^2+bx+c和一次函数y=t，则不 等式ax^2+bx+c<t的解集就是二次函数y=ax^2+bx+c的图象在直线y=t下方部分对应 续表 ①顶点坐标为B ,顶点在定 y=x2-2mx+m2+m或 直线④ 上； y=(x-m)2+m ②原抛物线可以看作是由抛物线y=x2 沿直线y=x平移得到的 注意：la的大小决定抛物线的开口大小，lal越大开口越小，la越小开口越大.因而在二次项 系数α不确定的情况下，既要考虑抛物线的开口方向变化，也要考虑抛物线的开口大小变化 (2)抛物线（开口向上为例）与线段AB交点情况的图象分析 交点情况 0个交点 1个交点 2个交点 类型 抛物线与 水平线段 抛物线与 斜线段 注意：图中用实线表示的抛物线为“临界状态”.此类问题重点在于全面分析抛物线变化过 程中与线段的交点情况，以上图象目的在于帮助理解，切勿死记硬背.结合题目中的情况 分类讨论时应注意不要遗漏，特别注意“临界状态”时抛物线与线段的位置关系，分类讨论 应围绕“临界状态”展开，并判断此时不等号的方向及“=”是否可以取到 73 6.动态抛物线的整点问题（取其中一个类型以练代讲） 对于问题：“在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2-2mx+m-1(m>0)与x轴的交点分别为 点A、B(A在B的左侧)，若横、纵坐标都是整数的点叫作整点，当抛物线在点A、B之间的部分 与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，求m的取值范围.” (1)确定抛物线特征 .'y=mx2-2mx+m-1=m(x-1)2-1且m>0, ∴.该抛物线开口⑤ ,对称轴是直线⑥ ,顶点坐标为⑦ (2)分类讨论确定边界 ①确定对称轴，对称轴上找整点 此区域内对称轴上的整点坐标为⑧ ②根据对称性确定对称轴两侧整点数 ·题中围成的区域为关于抛物线对称轴对称的轴对称图形， .对称轴两侧的整点数相等， :区域内恰有6个整点，且对称轴上有2个整点，∴.对称轴两侧各有四个整点， 当该抛物线经过点(-1,0)和(3,0)时（如图①），符合题意， 将(-1,0)代人y=2-2m心+m-1得到0=m+2m+m-1,解得m=, 当抛物线开口变大时，m会变小，此时区域内仍为6个整点m≤ 图① 当抛物线经过点(-2,0)和(4,0)时（如图②），此时区域内有8个整点， 将(-2,0)代入y=mx2-2mx+m-1得到0=4m+4m+m-1,解得m= 9, 即m=g时，区域内有8个整点m>。 B 图② 综上所述，当区域内（包活边界）恰有6个整点时，m的取值范围为)<m≤子 74 随堂检测 1.如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=1,与x轴的一个交点为A(3,0),则与 x轴的另一个交点坐标是 A.(