第六章 第三节 三角形的内心与外心(必考)（精讲册）-【厚积薄发】2023河北中考数学中考源动力中考总复习

第三节三角形的内心与外心（必考） 厚积薄发·突破基础知识 【2022版课标要求】 了解三角形的内心与外心 【版本导航】冀教：九上第二十八章P150-P151,九下第二十九章P12-P13; 人教：九上第二十四章P93-P94,P99-P100; 北师：九下第三章P85-P86,P92-P93. 口基础知识梳理 三角形的内切圆：如图①，在三角形内部且与三角形三边都相切的圆 叫作三角形的内切圆 三角形的内心：三角形内切圆的圆心，实质是三角形三个内 角的① 的交点 图① 十一 见到三角形的内心就想以下两点 角平分线：内心与顶，点的连线必然平分 等距：内心到三角形三边的距离必定相等 三角形的三个内角 角 的 心 如图，点I为△ABC的内心，连接AI 如图，点I为△ABC的内心，过点I作三 BI、CI,必有∠CAI=∠BAI,∠CBI= 边的垂线，必有ID=IE=IF 心 ∠ABI,∠ACI=∠BCI 同一直角三角形的内切圆的面积和不变 三角形的外接圆：如图②，经过三角形的三个顶点可以作一个圆， 这个圆叫作三角形的外接圆 .0 三角形的外心：三角形外接圆的圆心，实质是三角形三条边的 ② 的交点 图② 130 十十n十m十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十m十十十十十十n十十十十十十十十十 见到三角形的外心就想以下两点 垂直平分线：外心到三角形三边的垂 等距：外心到三角形三个顶点的距 线必然平分三条边 离必然相等 B 如图，点P为△ABC的外心，若PD1 形的 如图，点P为△ABC的外心，连接 AC,PE⊥BC,PF⊥AB,必有AD=CD, PA,PB,PC,必有PA=PB=PC BE=CE,AF=BF 心 心 外心位置与三角形形状的关系 外心在三角形的内部 外心在三角形的边上 外心在三角形的外部 ! i! 1 三角形为锐角三角形 三角形为直角三角形 三角形为钝角三角形 ++十+…十十十十十十十十十十十十十十十”十十十w十…十十十十十+十十+十w十十十十+ 口知识拓展 一、四个典型的内心、外心模型 己知：BA=BE,CA 已知：点P为△ABC 已知：CA,CB都是 已知：点P为△ABC CD,点M为 的内心，AB=m,BC= ⊙0的切线 的内心，∠ACP=a △ABC的内心 n(m<n),PD⊥BC ) B 结论：点M是 结论：利用∠BPC= 结论：利用切线长定理 结论：点M是 △ADE的外心（已 1 可得AC=m+n-2BD, △ABC的内心 知与结论颠倒，依 90°+2∠A,得90 结合三角形三边关系可 然成立) <∠BPC<180°-a 得0<BD<m 131 二、三角形的最小覆盖圆问题 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 结论：直角三角形的最小 结论：钝角三角形的最小 结论：锐角三角形的最小 覆盖圆是它的外接圆（或 覆盖圆是以最长边为直 覆盖圆是它的外接圆 以斜边为直径的圆) 径的圆 三、三角形内切圆半径的求法 任意三角形的内切圆 直角三角形的内切圆 利用等面积法可得：r= ab a+b+c 利用等面积法可得：r= 2S AABC a+b+c 利用切线长定理可得：=a+b-c 2 随堂检测 1.如图，若点O为△ABC的外心，则∠1+∠2的度数为 A.100° B.90° C.80° D.60° 2.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则下列说法不正确的是 A.点O是△CDE的外心 B.点O是△COE的外心 C.点O是△CEF的外心 D.点O是△ACE的外心 ) 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在△ABC中，∠C=90,4C=4,am1=子，1为△ABC的内心，D/AC,E/BC,则△DE的周长 为 A.6 B.5 C.4.8 D.4 4.如图，在Rt△ABC中，AB=1,AC=√3，∠BAC=90°，点D是线段BC上一点，若点E是△ABD 的内心，则∠AEB的度数可能是 () A.100° B.105° C.130 D.150° 132河北中考源动力·数学参考答案 精 讲 册 第五节　正方形 基础知识梳理 ①平行四边形　②垂直平分　③４　④直角　⑤相等 ⑥垂直且相等　⑦相等　⑧垂直 　 ⑨直角　⑩相等 随堂检测 １．Ｃ　２．Ａ　３．Ａ　４．Ｂ　５．Ｃ ６．（１）４５，４５；（２）６７．５，２２．５；（３）１５，１２０ ７． 槡２３；槡２３ 第六章　圆 第一节　圆的基本性质 基础知识梳理 ①圆心　②定长　③⊙Ｏ　④圆心　⑤优弧　⑥劣弧　⑦圆心 ⑧圆上　⑨圆心　⑩相等　瑏瑡相等 　瑏瑢∠ＣＯＤ　瑏瑣ＣＤ 瑏瑤相等　瑏瑥相等　瑏瑦∠ＣＯＤ　瑏瑧平分　瑏瑨平分　瑏瑩垂直于 瑐瑠相等　瑐瑡一半　瑐瑢 １２　瑐瑣９０°　瑐瑤直径　瑐瑥∠２　瑐瑦９０° 瑐瑧互补　瑐瑨１８０°　瑐