柯西不等式　辅导讲义

柯西不等式 结论： 1.二维形式 ，当且仅当时等号成立. 证明： = = 当且仅当ad-bc=0，即ad=bc时等号成立 2.向量形式 证明：，当且仅当方向相同时等号成立. 3. 扩展：，当且仅当时，等号成立. 4. 记忆方法：口诀：平和城，城和平 平：平方 城：同“乘”，相乘 典例分析： 例1.实数x、y满足，则x+y的最大值是________. 解：，则 所以，当且仅当时等号成立. 答案： 例2.已知点在以原点为圆心，半径为5的圆上运动，则3x+4y的最大值为______. 解：因为，所以 则，所以，当且仅当即时等号成立. 答案：25 例3.实数x、y满足，则2x+y的最大值为______. 解： 所以，， 当且仅当，即时等号成立. 答案： 例4.实数x、y满足，则x+y的最小值是________. 解：因 所以，则，当且仅当，即时等号成立. 答案：2 例5.，则最小值为_______. 解：，所以，当且仅当且，即时等号成立. 答案： 针对练习： 1.已知，则的最大值是（ ） A.18 B.9 C. D. 2.已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3.若，则的最大值为（ ） A. 9 B. 3 C. 1 D. 27 4.实数x、y满足，则的最大值是______. 5.函数的最大值是_______. 6.对任意的正实数x，y有恒成立，则k的最小值为______. 7.已知直角中，斜边AB=4，则2AC+BC的最大值是______. 8.函数 的最大值是(    ) A． B． C．3 D．5 9.已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10.已知a，b均为正数，且，则的最大值为______. 11.函数的最大值（ ） A. B. C.3 D. 12.函数的最大值为______. 参考答案：1.C 2.D 3.B 4. 5.5 6. 7. 8.A 9.B 10. 11.A 12.3 学科网（北京）股份有限公司 $