专题3.15 图形的平移与旋转（最值问题）（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题3.15 图形的平移与旋转（最值问题） （培优篇）（专项练习） 一、单选题 1．如图，点，，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转90°得到，连接．则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 2．如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 3．如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（　　） A．2 B． C． D．4 4．如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到AEF．则AE+PB+PC的最小值为（    ） A．2 B．8 C．5 D．6 5．如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D．3 6．如图，在中，，为边上一动点（点除外），把线段绕着点沿着顺时针的方向旋转90°至，连接，则面积的最大值为（    ） A．16 B．8 C．32 D．10 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM．若BC＝2，∠A＝30°，则线段PM的最大值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，正方形的边长为5，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 9．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 10．如图，已知正方形的边长为，点是边上-动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，为等边三角形，点P为内一点，且，，，M、N为、上的动点，且，则的最小值为__________． 12．如图所示，是以A为公共端点的两条线段，且满足，，作线段的垂直平分线l交于点D．点P为直线l上一动点，连接，以为边构造等边，连接．当的周长最小时，，则周长的最小值为_________．（用含有a、b的式子表示） 13．如图，等边中，，为的中点，为内一动点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得，连接，则线段的最小值为______． 14．在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点E为线段中点，点P是线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点， （Ⅰ）如图①，______________； （Ⅱ）如图②，线段的最大值为___________，最小值为____________． 15．如图，在平面直角坐标系中，点Q是一次函数的图象上一动点，将Q绕点C（2，0）顺时针旋转到点P，连接，设Q点横坐标为m，则P点坐标为 _____（含有m的代数式表示）；并求的最小值 _____． 16．如图，在△ABC中，AC＝2＋2，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到 ，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点，则线段的最大值是________，最小值是________． 17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为y轴上的一个动点，将点B绕点A顺时针旋转至点C，连接OC，则OC长度的最小值为___________． 18．如图，边长为的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，的最小值是_________． 三、解答题 19．在中，，点D是边上一动点，连接．将线段绕着D逆时针旋转得到，连接． (1) 当时， ①如图1，若，，求的长： ②如图2，过点C作于F，当点D在线段上时，过点E作交于点G．求证：； (2) 如图3，若，，请直接写出的最小值． 20．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1) 如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出____