6.3三角形的中位线 课件2022-2023学年 北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册 第六章 平行四边形 第3节 三角形的中位线 情景引入 四兄弟分土地问题： 在一块考古学家发现的古巴比伦泥板上记载着这样一个有趣的故事：在巴比伦两河流域，有四位兄弟本来相安无事地生活着。直到一天他们父亲的去世打破了这一份平静，大家为了分割父亲留下的一块土地而争论不休，谁都不想吃亏。土地为三角形形状，请同学们利用所学的数学知识设计方案帮助这四位兄弟解决矛盾，回归平静的生活，同时也要对自己设计的方法有所说明，来说服四兄弟停止争论. 情景引入 问题：请问你们是如何进行分割的？分割线段是怎样形成的？面积 相等的理由是什么？ 方案一 方案二 追问1：这两种方案有什么相通之处？ 追问2：还有别的分割方案吗？ 情景引入 问题：请问你们是如何进行分割的？分割线段是怎样形成的？面积 相等的理由是什么？ 方案三 追问3：如何说明方案三中四个三角形全等？ 方案一 方案二 探索新知 中位线概念：连接三角形两边中的线段叫做三角形的中位线. 猜想： 关系 DE∥BC 数量 位置 问题：根据刚才的操作你能发现中位线与底边有关系？ 即中位线DE和第三边BC之间有怎么样的关系？ 追问：如何证明？ 探索新知 已知：在三角形ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点. 求证：DE∥BC， . 中位线 倍长 构造全等 三角形 平行四边形 证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接CF. 在△ADE和△CFE中， ∵AE=CE，∠1=∠2，DE=FE, ∴△ADE≌△CFE. ∴∠A=∠ECF,AD=CF. ∴CF∥AB. ∵BD=AD, ∴CF=BD. ∴四边形DBCF是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DF∥BC（平行四边形的定义）， DF=BC（平行四边形的对边相等）. ∴ DE∥BC， . 探索新知 已知：在三角形ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点. 求证：DE∥BC， . 链接古代数学——方法拓展 已知：在三角形ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点. 求证：DE∥BC，DE=BC. 方法1 方法2 方法3 几何画板演示 链接古代数学——欧几里得与三角形中位线定理 得出定理 现在你能证明方案三中的四个三角形全等了吗？ 符号语言： 在△ABC中 ∵点D,E分别为AB，AC的中点， ∴DE∥BC， . 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 三角形中位线定理 应用新知 1、如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四 边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论. 方法总结：连接两点构造中位线及应用 证明：如图，连接AC. ∵在△ABC中，E、F分别为AB、BC中点， ∴EF∥AC，EF=AC, 又∵在△ADC中，H、G分别为AD、DC中点， ∴HG∥AC，HG=AC， ∴ EF∥HG，EF=HG， ∴四边形EFGH为平行四边形. 应用新知 2、如图，已知点M为△ABC的边BC的中点，AB=12，AC=18，BD⊥AD 于点D，连接DM. (1)如图1，若AD为∠BAC的角平分线，求DM的长， （2）如图2，若AD为∠BAC的外角平分线，求MD的长． 方法总结：利用角平分线+垂直构造中位线及应用 图1 图2 中位线的构造与运用 拓展提升 1、如图，在△ABC中，AB>AC，在AB上取一点D，连接BC、AD的中点 E，F的直线交CA的延长线于点G.若AF=AG，求证:BD=AC. 方法总结：先添加辅助线，再构造中位线. 证明：如图，连接CD，取CD中点M，连接ME、MF. ∵在△ADC中，M、F分别为CD、AD中点， ∴MF∥AC，MF=AC, 又∵在△BDC中，E、M分别为CB、CD中点， ∴EM∥BD，EM=BD， ∵ EM∥AB， MF∥AC ， ∴∠GFA=∠FEM