4.5.2 几种简单几何体的体积课件-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.5 几种简单几何体的表面积和体积 第4章 4.5.2　几种简单几何体的体积 1 1.知道柱、锥、台的体积的计算公式. 2.能用柱、锥、台的体积的计算公式解决简单的实际问题. 3.知道球的体积的计算公式. 核心素养：数学运算、直观想象 学习目标 高中数学 必修第二册 湖南教育版 新知学习 一、祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”，意思是：夹在平行平面之间的两个形状不同的几何体，被平行于平面的任意一个平面所截，如果截面和的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 二　柱、锥、台、球的体积 1.高 我们把锥体（棱锥、圆锥）的顶点到底面的距离称为锥体的高.台体（棱台、圆台）或柱体（棱柱、圆柱）的两底面之间的距离称为台体或柱体的高. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2.柱、锥、台的体积公式 几何体 体积公式 图示 柱体 柱体＝ 锥体 锥体＝ 台体 台体＝（++ 高中数学 必修第二册 湖南教育版 名师点析 将圆柱、圆锥、圆台的底面积公式代入，可得以下体积公式： 几何体 体积 备注 圆柱 是底面半径，是高 圆锥 圆锥＝ 是底面半径，是高 圆台 圆台＝ 分别是上、下底面半径，是高 高中数学 必修第二册 湖南教育版 3.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 4.球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积公式为V＝πR3. 若一个球的直径是12 cm，则它的体积为　　　　cm3. 即时训练 288π 高中数学 必修第二册 湖南教育版 典例剖析 一　柱体、锥体、台体的体积计算 <1>圆柱、圆锥、圆台的体积计算 例1 在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点. （1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB与CD所成角的正切值. 解题提示：（1）先求出PO＝，再利用公式求该圆锥的侧面积与体积； （2）取PO的中点E，连接DE，CE，则∠CDE或其补角即为两异面直线所成的角，再求其正切值得解. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 解：（1）由题意，得OB＝2，PB＝4，∴ PO＝＝， 故圆锥的侧面积S＝πrl＝π×2×4＝8π， 圆锥的体积V＝πr2h＝×π×22×＝π. （2）如图，取PO的中点E，连接DE，CE， 则∠CDE或其补角即为两异面直线所成的角. 由题意知DE⊥EO，DE⊥OC，EO，OC平面EOC，EO∩OC＝O，∴ DE⊥平面EOC，∴ DE⊥EC. 又DE＝OA＝1，CE＝＝＝， ∴ tan∠CDE＝＝＝，即异面直线AB与CD所成角的正切值为. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 ①牢记并准确使用几何体体积计算公式是求几何体体积的关键所在； ②计算几何体体积时，作出几何体的“高”是解题的核心，对于旋转体而言，旋转轴是作高的主要依据，同时结合相关平面几何知识进行运算. 反思感悟 高中数学 必修第二册 湖南教育版 跟踪训练 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的体积为（　　） A. B. C. D. A 高中数学 必修第二册 湖南教育版 <2>棱柱、棱锥、棱台的体积计算 例 2 已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积. 解：如图，在三棱台ABC-A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，∴ S侧＝3××（20+30）×DD′＝75DD′. 又A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，∴ 上、下底面面积之和为S上+S下＝×（202+302）＝（cm2）. 由S侧＝S上+S下，得75DD′＝，∴ DD′＝cm. 又∵ O′D′＝×20＝（cm），OD＝×30＝（cm）， ∴ 棱台的高h＝O′O＝＝＝（cm）. 由棱台的体积公式，可得棱台的体积 V＝（S上+S下+）＝×＝1 900（cm3）. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 求几何体体积的常用方法 （1）公式法：直接利用体积公式代入数据计算； （2）等体积转化法：利用“同底等高”的关系进行转化，类比平面几何中三角形的面积计算； （3）割补法：将所求几何体分割为易求体积的几个几何体，求这几个几何体的体积和，或将所求几何体补全为规则几何体（易于观察几何关