4.5.1 几种简单几何体的表面积课件-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.5 几种简单几何体的表面积和体积 第4章 4.5.1　几种简单几何体的表面积 1 1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式. 2.能用棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式解决简单的实际问题. 3.知道球的表面积的计算公式. 核心素养：数学运算、直观想象 学习目标 高中数学 必修第二册 湖南教育版 新知学习 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 1.表面积 棱柱、棱锥、棱台的表面都由底面和侧面组成，因而其表面积（也称全面积）就是其底面积与侧面积之和. 2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及其侧面积公式 多面体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 直棱柱侧＝，其中，为直棱柱的底面周长，为直棱柱的高 正棱锥 正棱锥侧＝，其中，为正棱锥的底面周长，为侧面等腰三角形的高（正棱锥的斜高） 正棱台 正棱台侧＝（），其中为棱台两底面的周长，为棱台侧面的高（正棱台的斜高） 高中数学 必修第二册 湖南教育版 3.棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 如图： 空间图形 表面积公式 棱柱 棱锥 棱台 高中数学 必修第二册 湖南教育版 二、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积 几何体 侧面展开图 表面积公式 圆柱 为底面半径，为母线长 圆锥 为底面半径，为母线长 圆台 ，为上底面半径，为下底面半径，为母线长 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2.球的表面积 如果球的半径为R，那么它的表面积是S球＝4πR2. 1.若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为120°，则圆锥的表面积是底面积的（　　）倍. A.2 B.3 C.4 D.5 2.若一个正方体的内切球的半径为1，则该正方体的表面积为　　　　. 即时训练 C 24 高中数学 必修第二册 湖南教育版 典例剖析 一　棱柱、棱锥、棱台的表面积计算 例1 如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为　　　　. 解析：由图可知，该几何体由两个相同的正四棱锥底面相扣构成，此几何体的表面积由两个相同的正四棱锥的侧面积构成，即为八个全等的正三角形的面积之和. 由题意知正三角形的边长为，∴ ＝×（）2×8＝. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 （1）棱柱、棱锥、棱台的表面积为侧面积和底面积之和，计算侧面积的方法一般为定义法和公式法两种；定义法即是利用侧面积的定义：各个侧面面积之和；公式法即是直接利用相应的侧面积公式计算. （2）计算侧面积时经常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长构成的直角三角形（或梯形）求解. 反思感悟 高中数学 必修第二册 湖南教育版 跟踪训练 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝1，E，F分别为棱PC，BC上一点，且BE⊥PC，EF∥平面PAB. （1）求证：AE⊥PC；（2）当BF＝2FC时，求三棱锥P-ABC的表面积. （1）证明：∵ PA⊥平面ABC，∴ PA⊥AB，PA⊥AC.又∵ AB⊥AC，AC∩PA＝A， ∴ AB⊥平面PAC，∴ AB⊥PC.又∵ BE⊥PC，BE∩AB＝B，∴ PC⊥平面ABE，∴ AE⊥PC. （2）解：由EF∥平面PAB，EF平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，得EF∥PB.∵ BF＝2FC，∴ PE＝2EC. 由（1）可得△APE∽△CPA，则AP2＝PE·PC＝PC2.又PA＝1，∴ PC＝. 在Rt△PAC中，AE2＝PE·EC＝PC·PC＝PC2＝， ∴ AC＝＝＝，BE＝＝＝， ∴ 该三棱锥的表面积S＝S△PAB+S△PAC+S△ABC+S△PBC＝+2×+××＝+. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 二　圆柱、圆锥、圆台的表面积计算 例 2 已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4. （1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角； （2）若圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积. 解题提示：（1）由圆锥侧面展开图的定义计算； （2）由圆锥截面性质，在轴截面中得到相似三角形，由比例性质可得圆柱的底面半径，进而可得圆柱表面积. 解：（1）＝＝＝π. （2）如图所示，设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S， 则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝. 易知△AEB∽△AOC，∴＝，即＝， ∴ r＝1，∴ 2S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·＝π，∴ S＝2S底+S侧＝2π+π＝（2+）π. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 解决圆柱、圆锥、圆台表面积问题的基本方法和步骤 （1）常用方法：充分利用圆柱、圆锥和圆台等几何体的轴截面以及侧面展开图，结合底面半径、母线长以及对应展开图的边长，借助平面几何的相关知识进行计算.