4.3.1 空间中直线与直线的位置关系课件-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系 第4章 4.3.1　空间中直线与直线的位置关系 1 1.了解空间两条直线的三种位置关系. 2.理解异面直线的定义及判定方法. 3.掌握三线平行基本事实和等角定理. 4.理解两条异面直线所成的角及两条直线互相垂直的概念.. 核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算 学习目标 高中数学 必修第二册 湖南教育版 新知学习 一、空间两条直线的三种位置关系 1.异面直线 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线. 2.空间两条直线的位置关系有且只有以下三种： ①相交：在同一个平面内，两条直线有且只有一个公共点； ②平行：在同一个平面内，两条直线没有公共点； ③异面：两条直线不同在任何一个平面内，没有公共点. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 （1）若从有无公共点的角度看，可分为两类： （2）若从是否共面的角度看，也可分为两类： 名师点析 高中数学 必修第二册 湖南教育版 即时训练 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若，，则是异面直线. （　　） （2）若与异面，与异面，则与异面. （　　） （3）若不同在任何一个平面内，则与异面. （　　） × × √ 高中数学 必修第二册 湖南教育版 二、基本事实4与等角定理 1.基本事实4 文字描述 平行于同一条直线的两条直线平行 符号语言 ∥.（为空间中三条不重合的直线） 应用 判断或证明空间中两条直线平行 2.等角定理 （1）定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. （2）作用：判断与证明两个角相等或互补. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 名师点析 在等角定理中要特别注意角的两条边的方向，它包含以下三种情况： （1）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补. （2）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等. （3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 三、异面直线 1.异面直线的画法 空间中，两条异面直线既不平行，也不相交.作图时，可借用辅助平面以显示它们不共面的特点.如图. 2.异面直线的判定定理 与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线.如图所示，直线与直线是异面直线. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 3.异面直线所成的角 （1）定义：对于异面直线a和b，如图4所示，在空间中任取一点P，过P分别作a和b的平行线a′和b′，我们把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角. （2）范围：（0°，90°］. （3）异面直线互相垂直：如果两条异面直线a与b所成的角为90°，则称这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b. （1）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，把空间角问题转化为平面角问题，这是研究立体几何问题的一种基本思想，即空间问题平面化. （2）两异面直线a，b所成角的大小与点P的位置无关.在定义中，空间一点P的位置是任取的，根据“等角定理”，可以判定两异面直线a，b所成角的大小总是等于直线a′与b′所成的角的大小. 为了简便，点P常取在两条异面直线中的一条上. 名师点析 高中数学 必修第二册 湖南教育版 典例剖析 一　基本事实4及等角定理的应用 例1 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点. 求证：∠EA1F＝∠E1CF1. 证明：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，F1M.由题意得BF＝A1M＝AB. ∵ BF∥A1M，∴ 四边形A1FBM为平行四边形，∴ A1F∥BM. 又F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，∴ F1M平行且等于C1B1. ∵ C1B1平行且等于BC，∴ F1M∥BC，∴ 四边形F1MBC为平行四边形， ∴ BM∥F1C.又BM∥A1F，∴ A1F∥F1C.同理，A1E∥CE1， ∴ ∠EA1F与∠E1CF1的两边分别平行，且方向都相反， ∴ ∠EA1F＝∠E1CF1. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 （1）利用空间平行线的传递性证明a∥b时，先寻找一条直线c，使a∥c，b∥c，进而可得a∥b. （2）依据空间等角定理证明两角相等的步骤： ①证明两个角的两边分别对应平行； ②判定两个角的两边的方向都相同或者都相反. 反思感悟 高中数学 必修第二册 湖南教育版 跟踪训练 如图，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱